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Aufgabenstellung:

Der Teilchenmenge eines idealen zweiatomigen Gases wird bei konstant gehaltenem Druck die Wärme zugeführt. Das Gas erwärmt sich dabei von einer Anfangstemperatur auf eine Endtemperatur . Bei diesem Prozess verdoppelt sich das Anfangsvolumen auf das Endvolumen .
Berechnen Sie die Anfangstemperatur und die Endtemperatur des Gases.

Lösungsweg:

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Vorbemerkung: Zusammenfassung der Grundlagen

Für ein ideales Gas gilt die Zustandsgleichung

Da die Teilchenmenge vorgegeben ist, wird die Zustandsgleichung zweckmäßigerweise in der der angegebenen, stoffmengenbezogenen Schreibweise angewandt. Der Zusammenhang zwischen der zugeführten Wärme und der dadurch hervorgerufenen Temperaturänderung ist wieder in der stoffmengenbezogenen Schreibweise, gegeben durch

Dabei ist die molare isobare Wärmekapazität, da bei der Wärmezufuhr der Druck konstant gehalten wird, also ein isobarer Prozess vorliegt.

Für ein ideales Gas können die Wärmekapazitäten und aus der Anzahl der Freiheitsgrade der Gasmoleküle berechnet werden.

Für die isobare molare Wärmekapazität ergibt sich

Ein Freiheitsgrad steht für eine unabhängige Möglichkeit eines Moleküls, Energie aufzunehmen. Diese Möglichkeiten sind allgemein Translation, Rotation und Oszillation. Nimmt man an, dass Oszillationen des Moleküls noch nicht angeregt sind, dann verhält sich ein zweiatomiges Molekül modellmäßig wie eine starre Hantel. Es ist also

mit

[drei Raumkoordinaten zur Festlegung des Massenmittelpunktes]

[Rotation um die Verbindungsachse des Moleküls liefert für materielle Teilchen ('Massenpunkte') keinen Beitrag; Rotation um zwei Achsen senkrecht zur Verbindungsachse der beiden Atome]

Damit gilt für die Freiheitsgrade eines zweiatomigen Molekülmodells 'starre Hantel'.

und

Anwendung auf die Lösung des vorliegenden Problems

Die Zustandsgleichung eines idealen Gases ergibt für den Anfangszustand '1'

und für den Endzustand '2'

Für einen isobaren Prozess ändert sich der Druck nicht, also ist speziell

Damit erhält man nach Division der beiden obigen Gleichungen

Bei dem vorgegebenen isobaren Prozess soll sich das Volumen des Gases verdoppeln; also muss gelten

Einsetzen dieser Beziehung liefert

oder

Die Temperaturdifferenz zwischen den Zuständen '2' und '1' wird

Die Differenz ist gleich dem Absolutwert von .

Damit erhält man für die bei dem isobaren Prozess '1' ' zugeführte Wärme

Daraus erhält man die Anfangstemperatur zu

Zahlenwerte (Rechnung mit 4 signifikanten Ziffern)

Daraus erhält man die Temperatur nach dem isobaren Aufwärmprozess

Lösung: