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Aufgabenstellung:

In einem durch einen Kolben abgeschlossenen Zylinder ist das (einatomige) Gas Helium eingeschlossen (Masse ). Das Heliumgas hat die Anfangstemperatur und den Anfangsdruck ; seine Dichte unter diesen Bedingungen ist . (Der Index 'n' charakterisiert 'Normbedingungen'). Nach Erwärmung nimmt das Gas bei einem Enddruck von ein Endvolumen ein.
Berechnen Sie aus diesen Angaben

  1. das Anfangsvolumen (vor der Erwärmung),
  2. die im Zylinder eingeschlossene Teilchenmenge des Gases,
  3. die Anzahl der Gasmoleküle im Zylinder,
  4. die durch Wärmezufuhr verursachte Temperaturzunahme .

Lösungsweg:

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(a) Anfangsvolumen

Der Anfangszustand entspricht dem Normzustand. Deshalb wird für die Zustandsgrößen des Anfangszustandes der Index 'n' gewählt.

Gase erfüllen den ihnen zur Verfügung gestellten Raum stets vollständig und gleichmäßig. Das Anfangsvolumen kann auf verschiedenen Wegen bestimmt werden:

(1) Aus der Masse des Gases und seiner Dichte;
(2) aus der Zustandsgleichung in stoffmengenbezogener Schreibweise;
(3) aus der Zustandsgleichung in massebezogener Schreibweise.

(1) Aus der Masse des Gases und seiner Dichte .

Definition der Dichte für einen homogenen Körper

daraus ergibt sich:

(2) Aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases in stoffmengenbezogener Schreibweise

Für den angegebenen Normzustand [Index 'n'] gilt danach

und mit der Definition der Teilchenmenge

(Nicht verwechseln mit dem molaren Normvolumen )

(3) Aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases in massenbezogener Schreibweise

Dabei ist die individuelle Gaskonstante eines Gases

Es ergibt sich wieder die bereits unter (2) angegebene Beziehung.

(b) Teilchenmenge

Die Teilchenmenge erhält man aus der Masse und der molaren Masse

mit

wird zu 

(c) Anzahl der Gasmoleküle im Zylinder

Die Anzahl der Gasmoleküle im Zylinder ergibt sich aus der Teilchenmenge und der Avogadro Konstante ; mit

wird zu 

Die Anzahl der Teilchen in der Avogadro Konstante entspricht denen der Gasmoleküle, die für ein einatomiges Gas Atome sind. Der übergeordnete Begriff Teilchen umfasst die Sonderbegriffe für ein-bzw. mehratomige Gase.

(d) verursachte Temperaturzunahme

Die Temperaturzunahme nach Wärmezufuhr bestimmt sich als Differenz von Endtemperatur und Anfangstemperatur zu

Zunächst muss die Endtemperatur bestimmt werden. Aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases

folgt allgemein für eine vorgegebene Teilchenmenge (also const. )

oder speziell für die beiden Zustände ' ' und '1' angeschrieben

Damit wird

und schließlich die Temperaturdifferenz

Lösung: