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Aufgabenstellung:

Eine Gitarrensaite aus Stahl (Dichte , Zugfestigkeit , Elastizitätsmodul , Durchmesser ) ist mit einer Kraft gespannt und an zwei Punkten im Abstand fixiert.

  1. Bei welcher Spannkraft würde die Saite reißen?
    Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Transversalwellen entlang der Saite?
  2. Wie groß ist die maximale Wellenlänge, mit der die Saite schwingen kann?
    Wie groß ist die zugehörige Grundfrequenz?
  3. Mit welcher Frequenz muss die Saite angeregt werden, damit diese mit der zweiten Harmonischen schwingt?
  4. Wie stark ist eine zweite, identische Saite eingespannt, wenn bei Schwingung beider Saiten mit deren Grundfrequenz eine Schwebung mit einer Modulation von auftritt?
  5. Welche Energie ist in der ursprünglichen Saite gespeichert?
  6. Frequenzmessung. Ein HF-Signal wird mit einer festen Frequenz von exakt überlagert. Die entstehende Schwebung hat eine Frequenz . Wie groß ist die unbekannte Frequenz?

Lösungsweg:

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1. Bei welcher Spannkraft würde die Saite reißen?
Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Transversalwellen entlang der Saite?

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die Phasengeschwindigkeit der Saitenwelle:

2. Wie groß ist die maximale Wellenlänge, mit der die Saite schwingen kann?
Wie groß ist die zugehörige Grundfrequenz?

Erste stationärer Frequenz bei beidseitig fester Einspannung:

3. Mit welcher Frequenz muss die Saite angeregt werden, damit diese mit der zweiten Harmonischen schwingt?

4. Wie stark ist eine zweite, identische Saite eingespannt, wenn bei Schwingung beider Saiten mit deren Grundfrequenz eine Schwebung mit einer Modulation von auftritt?

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5. Welche Energie ist in der ursprünglichen Saite gespeichert?

Die gespeicherte Energie ist die potentielle Energie des ,,Federsystems" Gitarrensaite nach Spannen um die Länge mit (HOOKE'sches Gesetz: bzw. ).

Die Längenänderung folgt aus der Dehnung auf die Länge :

6. Frequenzmessung. Ein HF-Signal wird mit einer festen Frequenz von exakt überlagert. Die entstehende Schwebung hat eine Frequenz . Wie groß ist die unbekannte Frequenz?

Unbekannte Frequenz:

Es gibt eine zweite Lösung:

Lösung:

  4. üü