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Aufgabenstellung:

Gegeben ist ein System, von dem folgender Frequenzgang bekannt ist:

Das System soll wie nachstehend abgebildet geregelt werden, wobei keine bleibend Regelabweichung auftreten soll. Zunächst gilt .

Abbildung

a) Prüfen Sie für einen -Regler sowie für einen -Regler, ob diese Anforderung erfüllt ist.


Aus Kostengründen soll nun ein einfacher -Regler verwendet werden.

b) Berechnen Sie für die Durchtrittsfrequenzen und . Skizzieren Sie die Ortskurve des offenen Regelkreises für und markieren Sie auf dieser die Stellen und

 

c) Bestimmen Sie die maximale Reglerverstärkung , für die eine Amplitudenreserve sichergestellt ist, sowie die Phasenreserve bei diesem


Hinweis: Der folgende Aufgabenteil d) ist unabhängig von den bisherigen Aufgabenteilen a)-c) lösbar.
Nun gilt für das parallel geschaltete System

d) Ermitteln Sie mithilfe des Hurwitz-Kriteriums, für welche Werte der geschlossene Regelkreis stabil ist. Es darf ohne Einheiten gerechnet werden. 

Lösungsweg:

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a) Anforderungen prüfen

Die Strecke besitzt bereits integrierendes Verhalten, daher ist auch bei Verwendung eines -Reglers sichergestellt, dass der offene Regelkreis integrierendes Verhalten besitzt und somit (Stabilität des geschlossenen Regelkreises vorausgesetzt) keine bleibende Regelabweichung auftritt. Bei einem -Element als Regler hingegen würde der differenzierende Anteil zu einer Kürzung des Integratorpols der Strecke führen, weshalb dieses als Regler nicht in Frage kommt.

b) Durchtrittsfrequenzen und für

Wie aus der Übertragungsfunktion ersichtlich ist, handelt es sich um einen Integrator mit , der mit einem Allpass erster Ordnung mit und in Reihe geschaltet ist.

Ortskurve (Skizze):

Abbildung

c) Maximale Reglerverstärkun, sowie die Phasenreserve

Da und gemäß b) für die ungeregelte Strecke genau übereinstimmen, gilt für die Amplitudenreserve mit der Verstärkung des -Reglers

Maximales

Damit folgt :

Analog zu b) ergibt sich die veränderte Durchtrittsfrequenz zu , die nun nicht mehr mit der (unveränderten) Frequenz übereinstimmt. Für die Phasenreserve gilt

Mit

ergibt sich für

Hinweis: Das vereinfachte Nyquist-Kriterium ist anwendbar.

d) Hurwitz-Kriteriums

Die Übertragungsfunktion der Parallelschaltung aus und lautet

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ergibt sich zu

Das entsprechende Nennerpolynom lautet

1. Bedingung nach Hurwitz:

2. Bedingung nach Hurwitz:

Durch Reduktion auf die restriktivsten Bedingungen ergibt sich

Lösung:

  1. siehe Musterlösung