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Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Gleichung einer Kurve mit den folgenden Eigenschaften: Ist ein beliebiger Punkt der Kurve und bezeichnet man die Abstände dieses Punktes von zwei festen Punkten und im Abstand mit und , so soll das Produkt dieser Abstände stets konstant betragen. Bestimmen Sie die Kurvengleichung

  1. in kartesischen Koordinaten (in impliziter Form)
  2. in Polarkoordinaten
  3. Skizzieren Sie den Kurvenverlauf für

Lösungsweg:

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Wir wählen das kartesische Koordinatensystem so, dass die Punkte und auf der -Achse liegen und die Mittelsenkrechte auf die -Achse bildet (siehe Skizze).

Skizze

Abbildung

Die Punkte und haben dann folgende Koordinaten:

a)

Die Kurvenpunkte erfüllen die Bedingung const. . Aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken und in der Skizze erhalten wir mit dem Satz des Pythagoras:

und

Aus der Bedingung folgt dann:

b)

Mit Hilfe der Transformationsgleichungen und erhalten wir aus der hergeleiteten Kurvengleichung in kartesischer Form die folgende Darstellung in Polarkoordinaten:

(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung

c) Kurvenverlauf für siehe Skizze

Skizze

Abbildung

Kurvengleichung in Polarkoordinaten:

Wir müssen die Winkelbereiche von bis und bis ausklammern, da dort gilt. Die Kurve ist geschlossen und sowohl zur -Achse als auch zur -Achse spiegelsymmetrisch, da die kartesische Kurvengleichung nur gerade Potenzen der Koordinaten und enthält (Vorzeichenänderung bei bzw. bewirkt keine Änderung der anderen Koordinate). Wir können uns daher bei der Wertetabelle auf den Winkelbereich beschränken:

Wertetabelle:

Lösung: