Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten

Stetigkeit

Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung

Hyperbel und Areafunktionen

Trigonometrische Funktionen

Exponentialfunktion, Logarithmus

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[<br />r=\frac{3 \cdot \cos \varphi \cdot \sin \varphi}{\cos ^{3} \varphi+\sin ^{3} \varphi}<br />\]</li>
<li>\[<br />r=\frac{b}{\cos \varphi} \pm a<br />\]</li>
<li>\[<br />r=a \cdot \sin \varphi \cdot \tan \varphi<br />\]</li>
</ol>

<p>Transformationsgleichungen: \( \quad x=r \cdot \cos \varphi, \quad y=r \cdot \sin \varphi, \quad x^{2}+y^{2}=r^{2} \)</p>


<p>Transformationsgleichungen: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \quad x=r \cdot \cos \varphi, \quad y=r \cdot \sin \varphi, \quad x^{2}+y^{2}=r^{2} " style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="44.234ex" height="2.38ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 19551.3 1051.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-600-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 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210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-600-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-600-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path><path id="MJX-600-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 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transform="translate(17608,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-600-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(18663.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-600-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-600-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[ x^{3}+y^{3}-3 x y=0 \quad\Rightarrow r^{3} \cdot \cos ^{3} \varphi+r^{3} \cdot \sin ^{3} \varphi-3(r \cdot \cos \varphi)(r \cdot \sin \varphi)=0  \]</p>


<p>\[<br />r^{3}\left(\cos ^{3} \varphi+\sin ^{3} \varphi\right)-3 r^{2} \cdot \cos \varphi \cdot \sin \varphi=0\quad \mid: r^{2}\quad \Rightarrow r\left(\cos ^{3} \varphi+\sin ^{3} \varphi\right)-3 \cdot \cos \varphi \cdot \sin \varphi=0  \]</p>


<p>\[\Rightarrow<br />r\left(\cos ^{3} \varphi+\sin ^{3} \varphi\right)=3 \cdot \cos \varphi \cdot \sin \varphi \quad\Rightarrow r=\frac{3 \cdot \cos \varphi \cdot \sin \varphi}{\cos ^{3} \varphi+\sin ^{3} \varphi}<br />\]</p>


<p>\[ \left(x^{2}+y^{2}\right)(x-b)^{2}=a^{2} x^{2}\quad \Rightarrow r^{2}(r \cdot \cos \varphi-b)^{2}=a^{2} \cdot r^{2} \cdot \cos ^{2} \varphi \quad\mid: r^{2} \]</p>


<p>\[\Rightarrow(r \cdot \cos \varphi-b)^{2}=a^{2} \cdot \cos ^{2} \varphi\quad \mid \sqrt{ } \quad\Rightarrow r \cdot \cos \varphi-b=\pm a \cdot \cos \varphi\]</p>


<p>\[\Rightarrow r \cdot \cos \varphi=b \pm a \cdot \cos \varphi \quad \Rightarrow \quad r=\frac{b \pm a \cdot \cos \varphi}{\cos \varphi}=\frac{b}{\cos \varphi} \pm a \)</p>


<p>\[ x^{3}+y^{2}(x-a)=0 \Rightarrow r^{3} \cdot \cos ^{3} \varphi+r^{2} \cdot \sin ^{2} \varphi(r \cdot \cos \varphi-a)=0\quad \mid: r^{2} \]</p>


<p>\[\Rightarrow r \cdot \cos ^{3} \varphi+\sin ^{2} \varphi(r \cdot \cos \varphi-a)=0 \Rightarrow r \cdot \cos ^{3} \varphi+r \cdot \cos \varphi \cdot \sin ^{2} \varphi-a \cdot \sin ^{2} \varphi=0 \]</p>


<p>\[\Rightarrow r \cdot \cos \varphi(\underbrace{\cos ^{2} \varphi+\sin ^{2} \varphi}_{1})-a \cdot \sin ^{2} \varphi=0 \Rightarrow r \cdot \cos \varphi=a \cdot \sin ^{2} \varphi\]</p>


<p>\[\Rightarrow  r=\frac{a \cdot \sin ^{2} \varphi}{\cos \varphi}=a \cdot \sin \varphi \cdot \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}=a \cdot \sin \varphi \cdot \tan \varphi \)</p>


<p>(unter Verwendung des,,trigonometrischen Pythagoras" \( \sin ^{2} \varphi+\cos ^{2} \varphi=1 \) und der Beziehung \( \tan \varphi=\sin \varphi / \cos \varphi \))</p>

<p>(unter Verwendung des,,trigonometrischen Pythagoras" <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sin ^{2} \varphi+\cos ^{2} \varphi=1 " style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.408ex" height="2.455ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -867 8136.4 1085" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-611-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-611-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 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246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="74" xlink:href="#MJX-612-TEX-N-74"></use><use data-c="61" xlink:href="#MJX-612-TEX-N-61" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-612-TEX-N-6E" transform="translate(889,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1445,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-612-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1611.7,0)"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-612-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2543.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-612-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3599.2,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-612-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-612-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-612-TEX-N-6E" 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<p>Wie lauten die folgenden Kurvengleichungen in Polarkoordinaten?</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Cartesisches Blatt: \( x^{3}+y^{3}-3 x y=0 \)</li>
<li>Konchoide: \( \left(x^{2}+y^{2}\right)(x-b)^{2}=a^{2} x^{2} \quad(a &gt; 0, b &gt; 0) \)</li>
<li>Zissoide: \( x^{3}+y^{2}(x-a)=0 \)</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: