Wenn diese Aussage zutrifft, muss die logarithmische Funktion identisch sein mit der Areafunktion Es genügt daher zu zeigen, dass die Umkehrung der logaritmischen Funktion auf den Tangens hyperbolicus führt.

Wir setzen und lösen dann die Funktionsgleichung durch Entlogarithmieren nach auf. Nutze dabei die Rechenregel: :

Die aus durch Rücksubstitution erhaltene Gleichung lösen wir nach auf:

Durch Vertauschen der Variablen erhalten wir die Umkehrfunktion, die in der Tat auf den Tangens hyperbolicus führt: