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Aufgabenstellung:

Ein gewichtsloser Stab der Länge mit konstantem Elastizitätsmodul ist aus zwei Stäben mit verschiedenen Kreisquerschnitten zusammengesetzt. Am unteren Ende wirkt eine Zugkraft F.

 

Gesucht:
Bestimmung der Größen, die sich an der Übergangsstelle zwischen beiden Querschnitten sprunghaft ändern: Dehnung , Verschiebung , Spannung , Normalkraft und Dehnsteifigkeit

 

Gegeben:

Gewichtsloser Stab aus zwei Stäben mit verschiedenen Kreisquerschnitten

 

Lösungsweg:

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Skizze und einführung von Koordinaten:

Einführung der Koordinatensysteme x1 und x2

Die Berechnung des Normalkraftverlaufes erfolgt durch Integration in beiden Bereichen

ist in beiden Bereichen konstant.

Die statische Randbedingung zur Bestimmung der Konstanten lautet

Die statische Übergangsbedingung zur Bestimmung der Konstanten lautet

Mit dem Elastizitätsgesetz mit const., const., const.  ergeben sich für beide Bereiche die Verschiebungsverläufe

Die geometrische Randbedingung zur Bestimmung der Konstanten lautet

Die geometrische Übergangsbedingung zur Bestimmung der Konstanten lautet

Damit lauten die Verschiebungsverläufe

Damit ergeben sich sprunghafte Änderungen:

  • bei der Dehnung , denn hat einen Sprung an der Übergangsstelle
  • bei der Spannung , denn hat einen Sprung an der Übergangsstelle
  • bei der Dehnsteifigkeit , denn hat einen Sprung an der Übergangsstelle

Die Normalkraft ist für beide Bereiche gleich groß. Die Verschiebung muß an der die Übergangsstelle kompatibel sein

Lösung:

siehe Lösungsweg