Elastizitätsgesetz

Verzerrungen

Dünnwandige Druckbehälter

Zugstab

Ebener Spannungszustand

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Siehe Lösungsweg</li>
<li>\( \sigma_{1}=220 \mathrm{MPa}, \ \sigma_{2}=20  \mathrm{MPa}, \ \phi_{1}=18,43^{\circ} \)</li>
<li>\( I_{1}=240 \mathrm{MPa}, \ I_{2}=4400 \mathrm{MPa}^{2}\)</li>
<li>\( \sigma_{V, S H}=220 \mathrm{MPa}, \ \sigma_{V, G H}=210,7 \mathrm{MPa} \)</li>
<li>\( \varepsilon_{x}=8,952 \cdot 10^{-4}, \  \varepsilon_{y}=-9,524 \cdot 10^{-5},\ \gamma_{x y}=7,429 \cdot 10^{-4}\)</li>
</ol>

<p>\begin{align}<br />\sigma_{M}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{x}}{2}&amp;=\frac{200+40}{2} \mathrm{MPa}=120 \mathrm{MPa} \\<br />\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}&amp;=\frac{200-40}{2} \mathrm{MPa}=80 \mathrm{MPa} \end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\tau_{\max }&amp;=\sqrt{80^{2}+60^{2}} \mathrm{MPa}=\sqrt{10000} \mathrm{MPa}=100 \mathrm{MPa} \\<br />\sigma_{1}&amp;=120 \mathrm{MPa}+100 \mathrm{MPa}=\underline{220 \mathrm{MPa}} \\<br />\sigma_{2}&amp;=120 \mathrm{MPa}-100 \mathrm{MPa}=\underline{20 \mathrm{MPa}}<br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\tan \left(2 \phi_{H}\right)&amp;=\frac{60}{80}=\frac{3}{4} \quad \Rightarrow 2 \phi_{H}=36,87^{\circ} \\<br />\tau_{x y} &amp;&gt; 0 \quad \quad \quad \quad \ \Rightarrow \phi_{1}=18,43^{\circ}<br />\end{align}</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align}
\tan \left(2 \phi_{H}\right)&=\frac{60}{80}=\frac{3}{4} \quad \Rightarrow 2 \phi_{H}=36,87^{\circ} \\
\tau_{x y} &> 0 \quad \quad \quad \quad \ \Rightarrow \phi_{1}=18,43^{\circ}
\end{align}" style="vertical-align: -3.275ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="40.319ex" height="7.681ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1947.5 17820.9 3395" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1041-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 58T428 40Q443 40 448 56T453 109V145H493V106Q492 66 490 59Q481 29 455 12T400 -6T353 12T329 54V58L327 55Q325 52 322 49T314 40T302 29T287 17T269 6T247 -2T221 -8T190 -11Q130 -11 82 20T34 107Q34 128 41 147T68 188T116 225T194 253T304 268H318V290Q318 324 312 340Q290 411 215 411Q197 411 181 410T156 406T148 403Q170 388 170 359Q170 334 154 320ZM126 106Q126 75 150 51T209 26Q247 26 276 49T315 109Q317 116 318 175Q318 233 317 233Q309 233 296 232T251 223T193 203T147 166T126 106Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-1041-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-I-1D719" d="M409 688Q413 694 421 694H429H442Q448 688 448 686Q448 679 418 563Q411 535 404 504T392 458L388 442Q388 441 397 441T429 435T477 418Q521 397 550 357T579 260T548 151T471 65T374 11T279 -10H275L251 -105Q245 -128 238 -160Q230 -192 227 -198T215 -205H209Q189 -205 189 -198Q189 -193 211 -103L234 -11Q234 -10 226 -10Q221 -10 206 -8T161 6T107 36T62 89T43 171Q43 231 76 284T157 370T254 422T342 441Q347 441 348 445L378 567Q409 686 409 688ZM122 150Q122 116 134 91T167 53T203 35T237 27H244L337 404Q333 404 326 403T297 395T255 379T211 350T170 304Q152 276 137 237Q122 191 122 150ZM500 282Q500 320 484 347T444 385T405 400T381 404H378L332 217L284 29Q284 27 285 27Q293 27 317 33T357 47Q400 66 431 100T475 170T494 234T500 282Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 504 2T458 2T437 1Q420 1 420 10Q420 15 423 24Q428 43 433 45Q437 46 448 46H454Q481 46 514 49Q520 50 522 50T528 55T534 64T540 82T547 110T558 153Q565 181 569 198Q602 330 602 331T457 332H312L279 197Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 38 340 37T337 19Q333 6 327 0H312Q275 2 178 2Q144 2 115 2T69 2T48 1Q31 1 31 10Q31 12 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-38" d="M70 417T70 494T124 618T248 666Q319 666 374 624T429 515Q429 485 418 459T392 417T361 389T335 371T324 363L338 354Q352 344 366 334T382 323Q457 264 457 174Q457 95 399 37T249 -22Q159 -22 101 29T43 155Q43 263 172 335L154 348Q133 361 127 368Q70 417 70 494ZM286 386L292 390Q298 394 301 396T311 403T323 413T334 425T345 438T355 454T364 471T369 491T371 513Q371 556 342 586T275 624Q268 625 242 625Q201 625 165 599T128 534Q128 511 141 492T167 463T217 431Q224 426 228 424L286 386ZM250 21Q308 21 350 55T392 137Q392 154 387 169T375 194T353 216T330 234T301 253T274 270Q260 279 244 289T218 306L210 311Q204 311 181 294T133 239T107 157Q107 98 150 60T250 21Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-2218" d="M55 251Q55 328 112 386T249 444T386 388T444 249Q444 171 388 113T250 55Q170 55 113 112T55 251ZM245 403Q188 403 142 361T96 250Q96 183 141 140T250 96Q284 96 313 109T354 135T375 160Q403 197 403 250Q403 313 360 358T245 403Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-I-1D70F" d="M39 284Q18 284 18 294Q18 301 45 338T99 398Q134 425 164 429Q170 431 332 431Q492 431 497 429Q517 424 517 402Q517 388 508 376T485 360Q479 358 389 358T299 356Q298 355 283 274T251 109T233 20Q228 5 215 -4T186 -13Q153 -13 153 20V30L203 192Q214 228 227 272T248 336L254 357Q254 358 208 358Q206 358 197 358T183 359Q105 359 61 295Q56 287 53 286T39 284Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-3E" d="M84 520Q84 528 88 533T96 539L99 540Q106 540 253 471T544 334L687 265Q694 260 694 250T687 235Q685 233 395 96L107 -40H101Q83 -38 83 -20Q83 -19 83 -17Q82 -10 98 -1Q117 9 248 71Q326 108 378 132L626 250L378 368Q90 504 86 509Q84 513 84 520Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-1041-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,605.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="74" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-74"></use><use data-c="61" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-61" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-6E" transform="translate(889,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1445,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1611.7,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(889,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D719" xlink:href="#MJX-1041-TEX-I-1D719"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(629,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43B" xlink:href="#MJX-1041-TEX-I-1D43B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2195.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4196.6,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="36" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-36"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="38" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-38"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g><rect width="1200" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3051.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4107.1,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-34"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(5047.1,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6324.9,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7602.7,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(8102.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D719" xlink:href="#MJX-1041-TEX-I-1D719"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(629,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43B" xlink:href="#MJX-1041-TEX-I-1D43B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9687.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10743.1,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-33"></use><use data-c="36" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-36" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11743.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(12187.8,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="38" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-38"></use><use data-c="37" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-37" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1033,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2218" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-2218"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1152.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2925.6,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70F" xlink:href="#MJX-1041-TEX-I-1D70F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(470,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1041-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1041-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4196.6,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3E" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(1833.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(2833.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(3833.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4833.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(5833.6,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6361.3,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(7639.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D719" xlink:href="#MJX-1041-TEX-I-1D719"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(629,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8949.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10005.2,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-31"></use><use data-c="38" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-38" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11005.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(11449.9,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-34"></use><use data-c="33" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-33" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1033,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2218" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-2218"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />I_{1}: \ \quad \ \,  \sigma_{x}+\sigma_{y}=240 \mathrm{MPa}, \quad \sigma_{1}+\sigma_{2}=240 \mathrm{MPa} \\<br />I_{2}: \ \ \sigma_{x} \sigma_{y}-\tau_{x y}^{2}=4400 \mathrm{MPa}^{2}, \quad \ \sigma_{1} \sigma_{2}=4400 \mathrm{MPa}^{2}<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\sigma_{V, S H} &amp;=\max \left(\left|\sigma_{1}-\sigma_{2}\right|,\left|\sigma_{1}\right|,\left|\sigma_{2}\right|\right)=\max (200,220,20) \mathrm{MPa}=220 \mathrm{MPa} \\<br />\sigma_{V, G H} &amp;=\sqrt{\sigma_{1}^{2}-\sigma_{1} \sigma_{2}+\sigma_{2}^{2}}=\sqrt{220^{2}-220 \cdot 20+20^{2}} \mathrm{MPa}=\sqrt{44400} \mathrm{MPa} \\<br />&amp;=210,7 \mathrm{MPa}<br />\end{aligned}</p>


<p>Alternativ:</p>
<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\sigma_{V, G H} &amp;=\sqrt{\sigma_{x}^{2}-\sigma_{x} \sigma_{y}+\sigma_{y}^{2}+3 \tau_{x y}^{2}}=\sqrt{200^{2}-200 \cdot 40+40^{2}+3 \cdot 60^{2}} \mathrm{MPa} \\<br />&amp;=\sqrt{44400 \mathrm{MPa}}=210,7 \mathrm{MPa}<br />\end{aligned}</p>


<p>\[<br />G=\frac{E}{2(1+v)}=\frac{210000 \mathrm{MPa}}{2 \cdot 1,3}=80769 \mathrm{MPa}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />\epsilon_{x}=\frac{\sigma_{x}-v \sigma_{y}}{E}=\frac{200-0,3 \cdot 40}{210000}=8,952 \cdot 10^{-4} \\<br />\epsilon_{y}=\frac{\sigma_{y}-v \sigma_{x}}{E}=\frac{40-0,3 \cdot 200}{210000}=-9,524 \cdot 10^{-5}<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>\[<br />\gamma_{x y}=\frac{\tau_{x y}}{G}=\frac{60}{80769}=7,429 \cdot 10^{-4}<br />\]</p>

<p>Gegeben sind die Spannungen \( \sigma_{x}=200 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=40 \mathrm{MPa} \) und \( \tau_{x y}=60 \mathrm{MPa} \) sowie der Elastizitätsmodul \( E=210000 \mathrm{MPa}\) und die Querkontraktionszahl \( v=0,3 \)</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis und tragen Sie die Richtung der 1.Hauptachse ein.</li>
<li>Berechnen Sie die Hauptspannungen \( \sigma_{1} \) und \( \sigma_{2} \) sowie die Richtung \( \phi_{1} \) der 1.Hauptachse.</li>
<li>Überprüfen Sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe b) mithilfe der Spannungsinvarianten.</li>
<li>Berechnen Sie die Vergleichsspannungen \( \sigma_{V, S H} \) nach der Schubspannungshypothese und \( \sigma_{V, G H} \) nach der Gestaltänderungshypothese.</li>
<li>Berechnen Sie die Verzerrungen \( \varepsilon_{x}, \varepsilon_{y} \) und \( \gamma_{x y} \).</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Elastizitätsgesetz mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Ebene Elastizitätstheorie - Elastizitätsgesetz | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: