Elastizitätsgesetz

Verzerrungen

Dünnwandige Druckbehälter

Zugstab

Ebener Spannungszustand

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\( \sigma_{x}=154,1 \mathrm{MPa}, \ \sigma_{y}=254,1 \mathrm{MPa}, \ \tau_{x y}=-62,27 \mathrm{MPa} \)
<p> </p>
</li>
<li>\( \sigma_{1}=284,0 \mathrm{MPa}, \ \sigma_{2}=124,2 \mathrm{MPa}\)
<p> </p>
</li>
<li>\(\tau_{\max }=79,9 \mathrm{MPa} \)</li>
</ol>

<p>Zuerst werden die Verzerrungen durch Lösen des linearen Gleichungssystems ermittelt:</p>


<p>\begin{align}<br />(1+\cos (2 \alpha)) \epsilon_{x}+(1-\cos (2 \alpha)) \epsilon_{y}+\sin (2 \alpha) \gamma_{x y}=2 \epsilon_{a} \\<br />(1+\cos (2 \beta)) \epsilon_{x}+(1-\cos (2 \beta)) \epsilon_{y}+\sin (2 \beta) \gamma_{x y}=2 \epsilon_{b} \\<br />(1+\cos (2 \gamma)) \epsilon_{x}+(1-\cos (2 \gamma)) \epsilon_{y}+\sin (2 \gamma) \gamma_{x y}=2 \epsilon_{c}<br />\end{align}</p>


<p>Die Winkelfunktionen haben dabei die folgenden Werte:</p>


<p>Damit lautet das vereinfachte Gleichungssystem:</p>


<p>\begin{align}<br />2 \epsilon_{x} \quad=2 \epsilon_{a} \\<br />\quad \frac{1}{2} \epsilon_{x}+\frac{3}{2} \epsilon_{y}-\frac{\sqrt{3}}{2} \gamma_{x y}=2 \epsilon_{b} \\<br />\frac{1}{2} \epsilon_{x}+\frac{3}{2} \epsilon_{y}+\frac{\sqrt{3}}{2} \gamma_{x y}=2 \epsilon_{c}<br />\end{align}</p>


<p>\[ \quad \epsilon_{x}=\epsilon_{a} \]</p>


<p>Addition der Gleichungen (2) und (3) ergibt:</p>


<p>\[ \quad \epsilon_{x}+3 \epsilon_{y}=2\left(\epsilon_{b}+\epsilon_{c}\right) \]</p>


<p>Daraus folgt für \(\epsilon_{y}\):</p>


<p>Daraus folgt für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\epsilon_{y}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.89ex" height="1.642ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 835.5 726" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1012-TEX-I-1D716" d="M227 -11Q149 -11 95 41T40 174Q40 262 87 322Q121 367 173 396T287 430Q289 431 329 431H367Q382 426 382 411Q382 385 341 385H325H312Q191 385 154 277L150 265H327Q340 256 340 246Q340 228 320 219H138V217Q128 187 128 143Q128 77 160 52T231 26Q258 26 284 36T326 57T343 68Q350 68 354 58T358 39Q358 36 357 35Q354 31 337 21T289 0T227 -11Z"></path><path id="MJX-1012-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D716" xlink:href="#MJX-1012-TEX-I-1D716"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(439,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1012-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[ \quad \epsilon_{y}=\frac{1}{3}\left(2 \epsilon_{b}+2 \epsilon_{c}-\epsilon_{x}\right)=\frac{1}{3}\left(2 \epsilon_{b}+2 \epsilon_{c}-\epsilon_{a}\right) \]</p>


<p>\[ \quad \gamma_{x y}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(2 \epsilon_{c}-\frac{1}{2} \epsilon_{x}-\frac{3}{2} \epsilon_{y}\right) \]</p>


<p>Einsetzen der Ergebnisse für \( \varepsilon_{x} \) und \( \varepsilon_{y} \) ergibt:</p>


<p>Einsetzen der Ergebnisse für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \varepsilon_{x} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.157ex" height="1.38ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -452 953.5 609.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1015-TEX-I-1D700" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path><path id="MJX-1015-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D700" xlink:href="#MJX-1015-TEX-I-1D700"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1015-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \varepsilon_{y} " style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.026ex" height="1.69ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -452 895.5 747" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1016-TEX-I-1D700" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path><path id="MJX-1016-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D700" xlink:href="#MJX-1016-TEX-I-1D700"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1016-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt:</p>


<p>\[<br />\quad \gamma_{x y}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(2 \epsilon_{c}-\frac{1}{2} \epsilon_{a}-\epsilon_{b}-\epsilon_{c}+\frac{1}{2} \epsilon_{a}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\epsilon_{c}-\epsilon_{b}\right)<br />\]</p>


<p>\begin{align}<br />\epsilon_{x}&amp;=3,707 \cdot 10^{-4} \\<br />\epsilon_{y}&amp;=\frac{1}{3}(2 \cdot 11,69+2 \cdot 5,013-3,707) \cdot 10^{-4}=9,900 \cdot 10^{-4} \\<br />\gamma_{x y}&amp;=\frac{2}{\sqrt{3}}(5,013-11,69) \cdot 10^{-4}=-7,710 \cdot 10^{-4}<br />\end{align}</p>


<p>Die zugehörigen Spannungen berechnen sich aus:</p>


<p>\begin{align}<br />\sigma_{x}&amp;=\frac{E}{1-v^{2}}\left(\epsilon_{x}+v \epsilon_{y}\right) \\<br />\sigma_{y}&amp;=\frac{E}{1-v^{2}}\left(\epsilon_{y}+v \epsilon_{x}\right) \\<br />\tau_{x y}&amp;=G \gamma_{x y}<br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\frac{E}{1-v^{2}}&amp;=\frac{210000 \mathrm{MPa}}{1-0,3^{2}}=230769 \mathrm{MPa} \\<br />G&amp;=\frac{E}{2(1+v)}=\frac{210000 \mathrm{MPa}}{2(1+0,3)}=80769 \mathrm{MPa} \\<br />\sigma_{x}&amp;=230769 \mathrm{MPa} \cdot(3,707+0,3 \cdot 9,900) \cdot 10^{-4}=154,1 \mathrm{MPa} \\<br />\sigma_{y}&amp;=230769 \mathrm{MPa} \cdot(9,900+0,3 \cdot 3,707) \cdot 10^{-4}=254,1 \mathrm{MPa} \\<br />\tau_{x y}&amp;=-80769 \mathrm{MPa} \cdot 7,710 \cdot 10^{-4}=-62.27 \mathrm{MPa}<br />\end{align}</p>


<p><strong>b) Hauptspannungen</strong></p>


<p>\[<br />\sigma_{1 / 2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2}}<br />\]</p>


<p>\begin{align}<br />\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)&amp;=\frac{1}{2}(154,1+254,1) \mathrm{MPa}=204,1 \mathrm{MPa} \\<br />\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right)&amp;=\frac{1}{2}(154,1-254,1) \mathrm{MPa}=-50 \mathrm{MPa} \\\\<br />\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2}}&amp;=\sqrt{50^{2}+62,27^{2}} \mathrm{MPa}=79,86 \mathrm{MPa} \\\\<br />\sigma_{1}&amp;=204,1 \mathrm{MPa}+79,86 \mathrm{MPa}=284.0 \mathrm{MPa} \\<br />\sigma_{2}&amp;=204,1 \mathrm{MPa}-79,86 \mathrm{MPa}=124,2 \mathrm{MPa}<br />\end{align}</p>


<p><strong>c) Größte Schubspannung</strong></p>


<p>Für die größte Schubspannung gilt:</p>


<p>\[<br />\tau_{m a x}=\frac{1}{2}\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\tau_{\max }=\frac{1}{2}(284,0-124,2) \mathrm{MPa}=72,9 \mathrm{MPa}<br />\]</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Die abgebildete DMS-Rosette liefert die folgenden Messwerte:</p>
<p>\begin{align}<br />\quad \varepsilon_{a}&amp;=3,707 \cdot 10^{-4} \\ \varepsilon_{b}&amp;=1,169 \cdot 10^{-3} \\ \varepsilon_{c}&amp;=5,013 \cdot 10^{-4}<br />\end{align}</p>
<p> </p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Ermitteln Sie die Spannungen \( \sigma_{x}, \sigma_{y} \) und \( \tau_{x y} \).</li>
<li>Berechnen Sie die Hauptspannungen \( \sigma_{1} \) und \( \sigma_{2} \)</li>
<li>Berechnen Sie die größte Schubspannung \( \tau_{\max } \)</li>
</ol>
<p> </p>
<p><strong>Gegebene Materialkennwerte:</strong> <br />\( E=210000 \mathrm{MPa},\  v=0,3 \)</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/602f88242fe7b3a4e586dd60.png" alt="Abbildung" /></p>
<p> </p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Elastizitätsgesetz mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: