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Aufgabenstellung:

  1. Auf welcher Kraftwirkung beruht der Halleffekt? Erläutern Sie den Halleffekt!
  2. Ein dünnes Halbleiterplättchen befindet sich gemäß Abbildung 1 senkrecht zum Magnetfeld und wird von einem Strom durchflossen. Bestimmen Sie die Hallspannung
  3. Bestimmen Sie die Hallspannung unter der Voraussetzung eines Winkels zwischen Magnetfeld und Oberfläche des Hallplättchens, wie in Abbildung 2 gezeigt.
  4. Gegeben sei ein unendlich langer Leiter mit verschwindendem Durchmesser. Der Leiter werde von einem Strom von durchflossen. Zur Messung der magnetischen Induktion werde ein Hallplättchen senkrecht zur Feldrichtung verwendet (Abb. 3). Wie groß ist die Hallspannung in Abhängigkeit des Abstandes zum Leiter?
    Wozu könnte man eine solche Messung in der Praxis nutzen?

Abbildung 1: Halleffekt bei senkrechtem Magnetfeld:

Abbildung

Abbildung 2: Halleffekt bei schrägem Magnetfeld

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Abbildung 3: Halleffekt bei Feld aus parallel laufendem Leiterstrom

Abbildung

Bemerkung: Die magnetische Induktion kann als konstant über der gesamten Breite des Plättchens angesehen werden.

Gegeben sind die folgenden Werte:

Lösungsweg:

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Aufgabenteil a)

  • Ladungsträger (Elektronen oder Löcher, je nach Halbleitermaterial) bewegen sich aufgrund des Stromflusses mit der Geschwindigkeit im Leiter
  • Auf sie wirkt aufgrund des -Feldes die Lorentzkraft, die die Elektronen auf eine Seite des Plättchens zieht
  • Durch die Ladungsakkumulation ergbit sich ein elektrisches Feld , so dass beide Krafte begtragsgleich aber unterschiedlich gerichtet sind:
  • Die somit entstehende Spannung wird an der Seite des Plättchens abgegriffen und ist ein Maß für die Stärke des -Feldes. Sie wird daher als Hallspannung bezeichnet.

Aufgabenteil b)

Der Ansatz für diese Aufgabe ist das Gleichgewicht der Coulomb'schen Kraft und der Lorentzkraft. Die Ursachen der Kräfte sind verschieden:

  • Coulomb'sche Kraft: Anwesenheit von Ladung
  • Lorentzkraft: Bewegte Ladung im Magnetfeld

Sie sind gegeben als:

Ansatz:

ü

lässt sich einfach über das Durchflutungsgesetz bestimmen:

Nun bleibt noch die Geschwindigkeit der Ladungsträger das Problem. Hier müssen wir zunächst etwas nachdenken:

  • der Stromfluss im Halbleiterplättchen kann als homogen über die Querschnittsfläche betrachtet werden
  • im (raumladungsfreien) Halbleiter befinden sich aufgrund der Struktur immer gleich viele Ladunsgträger
  • ein Strom ist die Änderung der Ladung nach der Zeit:
  • eine Geschwindigkeit ist die Änderung des Ortes nach der Zeit:

Änderung der Ladung nach der Zeit:

mit

- Ladungsänderung in der Zeit

- : Ladungsträgerdichte (Ladungsträger pro Volumen)
- Ladung eines Ladungsträgers und
- Änderung des Volumens in der Zeit

Die Änderung des Volumens ist aber bei konstantem Querschnitt zurückführbar auf die Änderung des Ortes:

dV einsetzen ergibt:

Ladungsträger eingesetzt

Es ergibt sich für das elektrische Feld:

Die daraus resultierende Hallspannung bestimmt sich aus dem Integral
In unserem Fall also

Aufgabenteil c)

Im Hallplättchen werden die Elektronen nur von der rechtwinklig zur Geschwindigkeit verlaufenden Flussdichte abgelenkt. Es ist also diese Komponente zu bestimmen:

 

Der Betrag der Flussdichte ist nun also gegeben durch:

Abbildung 4: Normalkomponente der magn. Flussdichte:

Abbildung

Daraus folgt für die Hallspannung:

Aufgabenteil )

Die Hallspannung wird durch die magnetische Flussdichte aufgebaut. Sie lässt sich mit dem Durchflutungsgesetz angeben.

Die Variable gibt hier wieder den Abstand Leiter-Plättchen an. Wir verwenden die eben berechnete Hallspannung:

Als Praxisbezug kann man hier eine mögliche Anwendung (z. B. Stommessung ohne die Leitung aufzutrennen) dieser Messung angeben.

Lösung:

  1. siehe Text.