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Aufgabenstellung:

AbbildungDie beiden Rollen und sind reibungsfrei gelenkig gelagert und durch einen elastischen Riemen verbunden, der auf den Rollen haftet.

Über den äußeren Umfang der Rolle verläuft ein dehnstarres Seil, an dem die beiden Massen und befestigt sind
Über den inneren Umfang der Rolle verläuft ein dehnstarres Seil, an dem die Massen und befestigt sind.

Die Rollen, die Seile und der Riemen sind masselos.

  1. Geben Sie die Lagekoordinaten und in Abhängigkeit von der Lagekoordinaten an.
  2. Ermitteln Sie die Beschleunigungen und der Massen.
  3. Ermitteln Sie die Seilkräfte bis in den Seilen, an denen die Massen hängen.

Hinweis zu b): Verwenden Sie die Momentengleichgewichtsbedingungen für die beiden Rollen, um die Kräfte im Riemen zu eliminieren, und die Bewegungsgleichungen für die vier Massen, um die Seilkräfte zu eliminieren.

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Kinematische Beziehungen

Als Hilfsgrößen werden die Winke und eingeführt, die die Drehung der Rollen beschreiben (Skizze):

Abbildung

Es folgt für die gesuchten Größen:

b) Beschleunigungen

Bewegungsgleichungen der Massen:

Abbildung

Da die Rollen masselos und reibungsfrei gelenkig gelagert sind, muss für sie das Momentengleichgewicht erfüllt sein:

Abbildung

Addition der beiden aus dem Momentengleichgewicht gewonnenen Beziehungen ergibt:

Aus den Bewegungsgleichungen folgt für die Seilkräfte:

Einsetzen in die obige Gleichung führt auf:

Mit den kinematischen Beziehungen folgt daraus eine Gleichung für die Beschleunigung :

Die übrigen Beschleunigungen können nun aus den kinematischen Beziehungen berechnet werden:

Zahlenwerte:

c) Seilkräfte

Lösung: