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Aufgabenstellung:

AbbildungDas abgebildete System besteht aus dem Wagen (Masse der reibungsfrei gelenkig gelagerten Rolle (Massenträgheitsmoment bezüglich dem Schwerpunkt) und der Rolle (Masse Massenträgheitsmoment bezüglich dem Schwerpunkt).

Die Rolle wird durch ein Loslager gehalten, das sich in vertikaler Richtung frei verschieben kann.

Der Wagen rollt reibungsfrei. Die Masse der Räder des Wagens darf vernachlässigt werden.

Am Wagen und an der Rolle sind lineare Federn mit der Federkonstanten angeschlossen. Der Wagen ist über ein masseloses dehnstarres Seil, das auf den Rollen und haftet, mit dem Punkt verbunden.

In der dargestellten Lage sind beide Federn entspannt, und das System ist in Ruhe.

  1. Geben Sie die Verschiebung des Wagens sowie die Drehwinkel und der Rollen und in Abhängigkeit von der Verschiebung der Rolle C an.
  2. Ermitteln Sie mithilfe des Energieerhaltungssatzes die Geschwindigkeit der Rolle in Abhängigkeit von der Verschiebung
  3. Ermitteln Sie die Beschleunigung der Rolle in Abhängigkeit von der Verschiebung .
  4. Mit welcher Kreisfrequenz w schwingt das System um die statische Gleichgewichtslage?

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Kinematik

Rolle

Abbildung

Rolle B:

Abbildung

b) Geschwindigkeit der Rolle

Als Nullniveau für die Lageenergie der Rolle wird die dargestellte Ausgangslage gewählt. Dann sind in der Ausgangslage alle Energien null.

Für eine beliebige ausgelenkte Lage gilt:

Feder am Wagen :

Wagen :

Rolle :

Rolle C:

Feder an Rolle C:

Der Energieerhaltungssatz lautet:

Mit den kinematischen Beziehungen folgt:

Mit den Beziehungen für die Massen und Massenträgheitsmomente folgt für :

c) Beschleunigung der Rolle

d) Kreisfrequenz 

Aus der Schwingungsgleichung

kann abgelesen werden:

Lösung: