Fourier-Reihen

Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>Der Flächeninhalt ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\ln(2)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.778ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2112 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12253-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-12253-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-12253-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-12253-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12253-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-12253-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12253-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-12253-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-12253-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-12253-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1223, 0)"><use xlink:href="#MJX-12253-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1723, 0)"><use xlink:href="#MJX-12253-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>\begin{align*}\iint_{G} 1 \ d(x, y)=\frac{1}{2} \int_{\partial G}(-y, x)^{T} \cdot d s\end{align*}</p>


<p>Parameterdarstellung von $\partial G:$</p>


<p>Parameterdarstellung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\partial G:" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.316ex" height="1.667ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -715 1907.8 737" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12248-TEX-I-1D715" d="M202 508Q179 508 169 520T158 547Q158 557 164 577T185 624T230 675T301 710L333 715H345Q378 715 384 714Q447 703 489 661T549 568T566 457Q566 362 519 240T402 53Q321 -22 223 -22Q123 -22 73 56Q42 102 42 148V159Q42 276 129 370T322 465Q383 465 414 434T455 367L458 378Q478 461 478 515Q478 603 437 639T344 676Q266 676 223 612Q264 606 264 572Q264 547 246 528T202 508ZM430 306Q430 372 401 400T333 428Q270 428 222 382Q197 354 183 323T150 221Q132 149 132 116Q132 21 232 21Q244 21 250 22Q327 35 374 112Q389 137 409 196T430 306Z"></path><path id="MJX-12248-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path><path id="MJX-12248-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12248-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(566, 0)"><use xlink:href="#MJX-12248-TEX-I-1D43A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1629.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12248-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}\begin{array}{l}<br />\gamma_{1}(t)=\left(\begin{array}{c}<br />1-t \\<br />1-t<br />\end{array}\right), \quad  t \in[0,1] \\\\<br />\gamma_{2}(t)=\left(\begin{array}{c}<br />t \\<br />t / 4<br />\end{array}\right), \quad \ \ \  t \in[0,2] \\\\<br />\gamma_{3}(t)= \left(\begin{array}{c}<br />2-t \\<br />\frac{1}{2-t}<br />\end{array}\right), \quad t \in[0,1]<br />\end{array}\end{align*}</p>


<p>Bilde die Ableitungen der gefundenen Parameterdarstellungen:</p>


<p>\begin{align*}\begin{array}{l}<br />\gamma_{1}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{c}<br />-1 \\<br />-1<br />\end{array}\right) \\ \\<br />\gamma_{2}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{c}<br />1 \\<br />1 / 4<br />\end{array}\right) \\ \\<br />\gamma_{3}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{c}<br />-1 \\<br />\frac{1}{(2-t)^{2}}<br />\end{array}\right)<br />\end{array}\end{align*}</p>


<p>Löse nun das Integral $\frac{1}{2} \int_{\partial G}(-y, x)^{T} \cdot d s$:</p>


<p>Löse nun das Integral <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\frac{1}{2} \int_{\partial G}(-y, x)^{T} \cdot d s" style="vertical-align: -0.806ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.557ex" height="2.763ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 7760.1 1221.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12251-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-12251-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 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56Q42 102 42 148V159Q42 276 129 370T322 465Q383 465 414 434T455 367L458 378Q478 461 478 515Q478 603 437 639T344 676Q266 676 223 612Q264 606 264 572Q264 547 246 528T202 508ZM430 306Q430 372 401 400T333 428Q270 428 222 382Q197 354 183 323T150 221Q132 149 132 116Q132 21 232 21Q244 21 250 22Q327 35 374 112Q389 137 409 196T430 306Z"></path><path id="MJX-12251-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 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150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-12251-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-12251-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 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xlink:href="#MJX-12251-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(960.2, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(472, -340.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-I-1D715"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(566, 0)"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-I-1D43A"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2438.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2827.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3605.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4095.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4539.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5111.9, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-I-1D447"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6270.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6771.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7291.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12251-TEX-I-1D460"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\frac{1}{2}\cdot \int_{\partial G}(-y, x)^{\top} \cdot d s &amp;=\frac{1}{2}\cdot \int_{0}^{1}\left\langle\left(\begin{array}{c}<br />-(1-t) \\<br />1-t<br />\end{array}\right), \gamma_{1}^{\prime}(t)\right\rangle d t+\frac{1}{2}\cdot \int_{0}^{2}\left\langle\left(\begin{array}{c}<br />-(t / 4) \\<br />t<br />\end{array}\right), \gamma_{2}^{\prime}(t)\right\rangle d t+\frac{1}{2}\cdot \int_{0}^{1}\left\langle\left(\begin{array}{c}<br />\frac{-1}{2-t} \\<br />2-t<br />\end{array}\right), \gamma_{3}^{\prime}(t)\right\rangle d t \\\\</p>
<p>&amp;=\int_{0}^{1} 0 d t+\int_{0}^{2} 0 d t+\int_{0}^{1} \frac{1}{2-t} d t \\\\</p>
<p>&amp;=\bigg[- \ln (2-t)\bigg]_{0}^{1} \\\\</p>
<p>&amp;=\ln(2)</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Im ersten Quadranten ist ein Bereich $G \subset \mathbb{R}^{2}$ gegeben, der von $y=x, y=\frac{x}{4}$ und $y=\frac{1}{x}$ berandet wird.</p>
<p> </p>
<p>Berechne die Fläche von $G$ mit dem Satz von Green. Zeiche vorab eine Skizze.</p>

<p>Im ersten Quadranten ist ein Bereich <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="G \subset \mathbb{R}^{2}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.342ex" height="2.084ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -881 3245.1 921" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12243-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 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data-mml-node="mo" transform="translate(3608, 0)"><use xlink:href="#MJX-12244-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4663.8, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-12244-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(245.5, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-12244-TEX-N-34"></use></g><rect width="604.5" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y=\frac{1}{x}" style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.036ex" height="2.755ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 2668 1217.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12245-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 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<p> </p>
<p>Berechne die Fläche von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="G" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12246-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12246-TEX-I-1D43A"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit dem Satz von Green. Zeiche vorab eine Skizze.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Satz von Green mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale - Satz von Green | Aufgabe mit Lö

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: