3 / 4

Aufgabenstellung:

Gegeben ist ein Vektorfeld mit und eine Fläche .

  1. Berechne das Integral
  2. Bestätigen dein Ergebnis aus 1. mit Hilfe des Satzes von Stokes.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Es kann helfen zunächst  eine Skizze anzufertigen:

Viertelkreis mit Koordinatensystem im Ursprung

1. Integral:

Parametrisiere die Fläche und formuliere Einschränkungen für die einzelnen Parameter:

Nutze Kugelkoordinaten mit .

Aus den Bedingungen in folgen für die Parameter:

Daraus folgt weiter:

Berechne die Rotation von :

Berechne :

Hier zeigt der Normalenvektor nach außen.

Berechne nun das Integral :

2. Bestätigen mit Stokes

Parametrisiere die Kurve (bzw. den Rand) :

Da der Normalenvektor von nach außen zeigt, solltest du den Rand im Urzeigersinn parametrisieren. Dabei müssen 2 Kurven unterschieden werden, die Kurve in der -Ebene und die Kurve in der -Ebene. Bilde außerdem die Ableitungen der Kurven.

Kurve in der -Ebene:

Kueve in der -Ebene:

Berechne nun das Integral :

Lösung:

Sowohl bei 1. als auch 2. erhält man als Ergebnis

Leider gibt es zur Zeit keine Theorie zu diesem Fach.

Du hast eine Zusammenfassung zu diesem Thema? Lade sie einfach hoch mit unserem innovativen Editor.