Fourier-Reihen

Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

\begin{align*}
\int_{k} y \cdot e^{-x} d s =\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{3 \pi}{4}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int_{k} y \cdot e^{-x} d s =\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{3 \pi}{4}
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Bilde die Ableitungen der gegebenen Kurve und den Betrag der Ableitung. Nutze $(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$:

Bilde die Ableitungen der gegebenen Kurve und den Betrag der Ableitung. 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transform="translate(1648.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2037.5, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1213.5, 676)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1722.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="2687" 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0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2037.5, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1213.5, 676)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1722.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11778-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="2687" height="60" x="120" 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Für den Betrag gilt:
\begin{align*} \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} &amp;=\sqrt{\frac{4 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}+\left(\frac{2}{1+t^{2}}-1\right)^{2}} \\
&amp;=\sqrt{\frac{4 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}+\frac{\left(2-1-t^{2}\right)^{2}}{1+t^{2}}} \\ &amp;=\frac{1}{1+t^{2}} \cdot \sqrt{4 t^{2}+1-2 t^{2}+t^{4}} \\
&amp;=\frac{1}{1+t^{2}} \cdot \sqrt{t^{4}+2 t^{2}+1} \\ &amp;=\frac{1}{1+t^{2}} \cdot \sqrt{\left(t^{2}+1\right)^{2}} \\
&amp;=1 \end{align*}

Stelle das gesuchte Integral auf und löse es:

\begin{align*}
\int_{k} y \cdot e^{-x} d s&amp;=\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan t-t+3}{e^{\ln \left(1+t^{2}\right)}} \cdot 1 d t \\ &amp;=\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan t-t+3}{1+t^{2}} d t \\ &amp;=\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan t}{1+t^{2}} d t-\int_{0}^{1} \frac{t}{1+t^{2}} d t+\int_{0}^{1} \frac{3}{1+t^{2}} d t
\end{align*}

\begin{align*}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \;  &amp;=2 \cdot \int_{0}^{1} \arctan t \cdot(\arctan t)^{\prime} d t-\frac{1}{2} \cdot \ln \left(1+t^{2}\right)\bigg|_{0} ^{1}+3 \ \underbrace{ \arctan t \bigg|_{0} ^{1}}_{\pi / 4} \\
&amp;=2 \cdot \frac{1}{2} \cdot\left[\arctan ^{2} t\right]_{0}^{1}-\frac{\ln 2}{2}+3 \cdot \frac{\pi}{4} \\ &amp;=\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{3 \pi}{4}
\end{align*}

In der vorletzten Zeile wurde folgender Trick verwendet: 
\begin{align*}f(t) \cdot f^{\prime}(t)&amp;=\frac{1}{2}\left(f^{2}(t)\right)^{\prime} \\
\Rightarrow \quad \int_{0}^{1} f(t) \cdot f^{\prime}(t) d t&amp;=\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1}\left(f^{2}(t)\right)^{\prime} d t=\left.\frac{1}{2}\left(f^{2}(t)\right)\right|_{0} ^{1}\end{align*}

In der vorletzten Zeile wurde folgender Trick verwendet: 
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}f(t) \cdot f^{\prime}(t)&=\frac{1}{2}\left(f^{2}(t)\right)^{\prime} \\
\Rightarrow \quad \int_{0}^{1} f(t) \cdot f^{\prime}(t) d t&=\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1}\left(f^{2}(t)\right)^{\prime} d t=\left.\frac{1}{2}\left(f^{2}(t)\right)\right|_{0} ^{1}\end{align*}" style="vertical-align: -4.863ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="54.627ex" height="10.857ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2649.5 24145.3 4798.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11782-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 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Berechne das Kurvenintegral
 
$$\int_{k} y e^{-x} d s$$
 
Dabei ist $k$ ein Bogen der durch die folgende Kurve, mit $t$ zwischen $t=0$ und $t=1$, beschrieben wird:
 
\begin{align*}
x&amp;=\varphi(t):=\ln \left(1+t^{2}\right) \\
y&amp;=\psi(t):=2 \arctan t-t+3
\end{align*}

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Kurvenintegrale mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale - Kurvenintegrale | Aufgabe mit L

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: