Fourier-Reihen

Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>\begin{align*}</p>
<p>W=\frac{3 \pi}{2}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bilde <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\gamma^{\prime}(t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.474ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 1977.7 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11735-TEX-I-1D6FE" d="M31 249Q11 249 11 258Q11 275 26 304T66 365T129 418T206 441Q233 441 239 440Q287 429 318 386T371 255Q385 195 385 170Q385 166 386 166L398 193Q418 244 443 300T486 391T508 430Q510 431 524 431H537Q543 425 543 422Q543 418 522 378T463 251T391 71Q385 55 378 6T357 -100Q341 -165 330 -190T303 -216Q286 -216 286 -188Q286 -138 340 32L346 51L347 69Q348 79 348 100Q348 257 291 317Q251 355 196 355Q148 355 108 329T51 260Q49 251 47 251Q45 249 31 249Z"></path><path id="MJX-11735-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-11735-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11735-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-11735-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11735-TEX-I-1D6FE"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(594.3, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11735-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(838.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11735-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1227.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11735-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1588.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11735-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>$\gamma^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{c}\cos (t) \\ 2 \cos (2 t)\end{array}\right)$</p>


<p>Stelle W auf und löse anschließend das Integral:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>W &amp;=\int_{C} f d s \\ &amp;=\int_{0}^{2 \pi} f(\gamma(t)) \cdot \gamma^{\prime}(t) d t \\</p>
<p>&amp;=\int_{0}^{2 \pi} f(\sin (t), \sin (2 t)) \cdot\left(\begin{array}{c}\cos (t) \\ 2 \cos (2 t)\end{array}\right) d t \\</p>
<p>&amp;=\int_{0}^{2 \pi}\left(\begin{array}{c}\sin (t) \cdot \sin (2 t) \\ -\sin ^{2}(t)\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}\cos (t) \\ 2 \cos (2 t)\end{array}\right) d t \\</p>
<p>&amp;=\int_{0}^{2 \pi}\left[\sin (t) \cdot \sin (2 t) \cdot \cos (t)-2 \cdot \sin ^{2}(t) \cdot \cos (2 t)\right] d t \end{align*}</p>


<p>Nutze $\sin (2 t)=2 \cdot \sin (t) \cdot \cos (t)$ und $\cos (2 t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)$</p>


<p>Nutze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sin (2 t)=2 \cdot \sin (t) \cdot \cos (t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.863ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 10989.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11738-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-11738-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-11738-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-11738-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-11738-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11738-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-11738-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 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<p>\begin{align*}<br />\ \ \ \ \, &amp;=\int_{0}^{2 \pi}\left[2 \cdot \sin ^{2}(t) \cdot \cos ^{2}(t)-2 \cdot \sin ^{2}(t) \cdot\left(\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)\right)\right] d t \\<br />&amp;=\int_{0}^{2 \pi} 2 \cdot \sin ^{2}(t)\left[\cos ^{2}(t)-\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)\right] d t \\<br />&amp;=\int_{0}^{2 \pi} 2 \cdot \sin ^{4}(t) d t<br />\end{align*}</p>


<p>Nutze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sin (2 t)=2 \cdot \sin (t) \cdot \cos (t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.863ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 10989.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11741-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-11741-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 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<p>\begin{align*}<br />\ \ \ \ \, &amp;=2 \cdot \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{1-\cos ^{2}(2 t)}{2}\right)^{2} d t \\<br />&amp;=\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 \pi}\left[1-2 \cdot 1 \cdot \cos (2 t)+\cos ^{2}(2 t)\right] d t \\<br />&amp;=\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 \pi}\left[1-2 \cdot \cos (2 t)+\frac{1+\cos (4 t)}{2}\right] d t \\<br />&amp;=\frac{1}{2} \cdot\left[t-\sin (2 t)+\frac{1}{2} \cdot t+\frac{1}{8} \cdot \sin (4 t)\right]_{0}^{2 \pi} \\<br />&amp;=\frac{1}{2} \cdot 3 \pi \\<br />&amp;=\frac{3 \pi}{2}<br />\end{align*}</p>

<p>Berechne das folgende orientierte Kurvenintegral $W=\int_{C} f \cdot d s$, wobei</p>
<p> </p>
<p>$$f(x, y)=\left(x y,-x^{2}\right)^{T}$$</p>
<p> </p>
<p>und $C$ gegeben ist durch:</p>
<p> </p>
<p>$$\gamma(t)=(\sin (t), \sin (2 t))^{T}, \quad t \in[0,2 \pi]$$</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Kurvenintegrale mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale - Kurvenintegrale | Aufgabe mit L

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: