4 / 4

Aufgabenstellung:

Bestimme eine LR-Zerlegung der Matrix und löse anschließend das lineare Gleichungssystem mit mit Hilfe der Zerlegung. Gib zusätzlich noch die Determinante der Matrix an.

 

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Zerlegung der Matrix:

Zeilenstufenform mit "überschriebenen" Einträgen berechnen:

Achtung: Vertauschung merken!

Achtung: Vertauschung merken!

Schreibe die ermittelte und Matrix auf:

Lösen des Gleichungssystems:

Achtung: Da wir zweimal Zeilen getauscht haben gilt . Du musst für jeden Tausch die Matrix mit einer Matrix von links multiplizieren. stellt dabei die Vertauschung von Zeile 1 und 2 dar und steht für die Vertauschung von Zeile 2 und 4. Selbiges gilt für den Vektor . Mit gilt dann und daraus folgt bzw. .

Kurz: Vertausche die Zeilen 1 und 2 und anschließend die Zeile 2 und 4 in der Matrix und im Vektor :

Löse durch Vorwärtseinsetzen, um zu erhalten:

Löse durch Rückwärtseinsetzen, um zu erhalten:

Determinante bestimmen:

Die Determinante entspricht dem dem Produkt der Diagonaleinträge von , allerdings kommt pro Zeilenvertauschung eine hinzu.

Lösung:

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt:

Für die Determinante gilt:

Hinweis

(mit Zeilenvertauschung)

Hinweis

(ohne Zeilenvertauschung)

Hinweis

Bei der Spaltenpivotisierung musst du vor der Elimination deine Zeilen tauschen, sodass immer die betragsmäßig größte Zahl dein Pivotelement bildet.

Vorgehen

LGS mit LR-Zerlegung lösen

Gesucht ist die Lösung eines LGS . Gegeben ist eine -Zerlegung von mit

  1. Falls eine Permutationsmatrix vorliegt so multipliziere sie mit dem Vektor . Kurz: Führe alle während der Zerlegung durchgeführten Zeilenvertauschungen auch an durch.


  2. Löse das lineare Gleichungssystem durch Vorwärtseinsetzen:


  3. Löse nun das lineare Gleichungssystem durch Rückwärtseinsetzen:

Vorgehen

Bestimmung einer LR-Zerlegung

Gegeben ist eine invertierbare Matrix Man erhält Matrizen und mit wie folgt:

  1. Nutze den Gaußalgorithmus, um mit iterativ alle Einträge unterhalb von (Diagonaleinträge) zu eleminieren. 
    Falls sein sollte, so vertausche (permutiere) Zeilen deiner Matrix und merke dir diese Vertauschungen.

    • Starte mit (Pivotelement): Ziehe Vielfache der ersten Zeile von den übrigen ab, sodass die Einträge der ersten Spalte zu Null werden.
    • Überschreibe die entstehenden Nullen mit:

      Wiederhole diese Schritte anschließend mit

  2. Lies die gesuchte und Matrix ab. besteht dabei aus dem linken unteren Teil deiner gefundenen Matrix, ergänzt um Einsen auf der Diagonalen. besteht aus dem rechten oberen Teil inklusive der Diagonaleinträge.



  3. Falls du Zeilen getauscht hast, so musst du noch die Permutationsmatrix aufstellen. Schreibe dafür eine Einheitsmatrix auf und führe alle unter 1) gemerkten Vertauschungen an ihr durch.