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Aufgabenstellung:

Untersuche die Definitheit von:

 

Lösungsweg:

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Versuche zunächst mit dem Hauptminorantenkriterium eine Aussage zu treffen.

Bestimme die Hauptdeterminanten und prüfe ihre Vorzeichen.

Da sowohl , als auch negativ sind, kann keine Aussage mit dem Hauptminorantenkriterium getroffen werden. Nutze daher die Eigenwertmethode.

Eigenwertmethode:

Charakteristisches Polynom bilden: 

Bestimme die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, um die Eigenwerte zu erhalten und prüfe ihre Vorzeichen.

Nutze die -Formel:

Da beide Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen haben ist die Matrix indefinit.

Lösung:

Die Matrix ist indefinit.

Vorgehen

Eigenwerten, Räume und Vektoren

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von über . Ziehe dazu jeweils ein von den Einträgen der Hauptdiagonalen ab und berechne anschließend die Determinante.
  2. Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
  3. Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem gefundenen Eigenwert mit
    Du solltest hier bei jeder Berechnung unendlich viele Lösungen erhalten, also immer eine Lösungsmenge mit mindestens einem Parameter.
  4. Einen passenden Eigenvektor erhälst du nun, indem du jeweils einen Vektor aus dem zugehörigen Eigenraum auswählst. Der Nullvektor ist dabei allerdings nicht zulässig.