Satz von Picard-Lindelöf

Bei dem Satz von Picard-Lindelöf geht es um die Existenz der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Um den Satz von Picard-Lindelöf zu verstehen, müssen wir uns zunächst mit der lokalen und globalen Lipschitzstetigkeit befassen: 

Definition

Globale Lipschitzbedingung

Man sagt:

genügt in einer Lipschitzbedingung bezüglich , wenn gilt: 

 

ü

 

Mit anderen Worten:

Wenn in eine beschränkte partielle Ableitung besitzt, dann genügt in einer Lipschitzbedingung bezüglich .

Definition

Lokale Lipschitzbedinung

Man sagt:

Wenn in eine stetige partielle Ableitung besitzt, dann genügt in einer lokalen Lipschitzbedingung.

Definition

Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf

Nach dem globalen Eindeutigkeitssatz gilt, dass ein Anfangswertproblem (AWP), das auf einem senkrechten Streifen eine globale Lipschitzbedingung erfüllt, auf dem kompletten Intervall eine eindeutige Lösung hat. 

Definition

Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf

Nach dem lokalen Eindeutigkeitssatz gilt, dass jedes Anfangswertproblem (AWP) zu einer DGL von der Form mit Anfangswert eindeutig gelöst werden kann, wenn die Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von gegeben ist.

Die Größe dieser Umgebung hängt dabei von ab. 

Vorgehen

Globale Lipschitzbedingung prüfen

  1. Setze die Werte in ein und vereinfache den Ausdruck.

  2. Versuche, den Ausdruck nach oben abzuschätzen.

  3. Stelle den Ausdruck nach um, indem du durch teilst unter der Annahme, dass  .

  4. Wenn du für gegen eine Konstante () abschätzen kannst, so liegt globale Lipschitz-Stetigkeit vor.
Vorgehen

Lokale Lipschitzbedingung prüfen

Untersuche, ob alle partiellen Ableitungen in einem Bereich existieren und stetig differenzierbar sind. Falls ja, so genügt in einer lokalen Lipschitzbedingung.