Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Linearität einer Abbildung prüfen

Linearität einer Abbildung

Darstellungsmatrizen

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<p>Die Abbildung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10255-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10255-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist linear.</p>

<p>Bedingungen für Linearität prüfen.</p>


<p>1. Untersuche, ob die Abbildung den Nullvektor des $R^2$ auf den Nullvektor des $R^3$ abbildet:</p>


<p>1. Untersuche, ob die Abbildung den Nullvektor des <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R^2" style="vertical-align: -0.048ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.63ex" height="1.934ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1162.6 854.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10249-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-10249-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10249-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(759, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10249-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf den Nullvektor des <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R^3" style="vertical-align: -0.048ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.63ex" height="1.933ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 1162.6 854.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10250-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-10250-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10250-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(759, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10250-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> abbildet:</p>


<p>\begin{align*}f\left(\left(\begin{array}{l}</p>
<p>0 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right)\right)&amp;=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>4 \cdot 0+5 \cdot 0 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>-2 \cdot 0+3 \cdot 0</p>
<p>\end{array}\right) \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>0 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right) \quad \checkmark \end{align*}</p>


<p>2. Prüfe die Linearkombination. Gilt $f(\alpha u+\beta v)=\alpha \cdot f(u)+\beta \cdot f(v)$?</p>


<p>2. Prüfe die Linearkombination. Gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(\alpha u+\beta v)=\alpha \cdot f(u)+\beta \cdot f(v)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.071ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 13733.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10252-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-10252-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-10252-TEX-I-1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z"></path><path id="MJX-10252-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10252-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-10252-TEX-I-1D6FD" d="M29 -194Q23 -188 23 -186Q23 -183 102 134T186 465Q208 533 243 584T309 658Q365 705 429 705H431Q493 705 533 667T573 570Q573 465 469 396L482 383Q533 332 533 252Q533 139 448 65T257 -10Q227 -10 203 -2T165 17T143 40T131 59T126 65L62 -188Q60 -194 42 -194H29ZM353 431Q392 431 427 419L432 422Q436 426 439 429T449 439T461 453T472 471T484 495T493 524T501 560Q503 569 503 593Q503 611 502 616Q487 667 426 667Q384 667 347 643T286 582T247 514T224 455Q219 439 186 308T152 168Q151 163 151 147Q151 99 173 68Q204 26 260 26Q302 26 349 51T425 137Q441 171 449 214T457 279Q457 337 422 372Q380 358 347 358H337Q258 358 258 389Q258 396 261 403Q275 431 353 431Z"></path><path id="MJX-10252-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-10252-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 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transform="translate(1579, 0)"><use xlink:href="#MJX-10252-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2373.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-10252-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3373.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-10252-TEX-I-1D6FD"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3939.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-10252-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4424.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-10252-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5091.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-10252-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6147, 0)"><use xlink:href="#MJX-10252-TEX-I-1D6FC"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7009.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-10252-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7509.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-10252-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8059.4, 0)"><use 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xlink:href="#MJX-10252-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>?</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>f(\alpha u+\beta v) &amp;=f\left(\left(\begin{array}{c}</p>
<p>\alpha u_{1}+\beta v_{1} \\</p>
<p>\alpha u_{2}+\beta v_{2}</p>
<p>\end{array}\right)\right) \\ \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>4 \cdot\left(\alpha u_{1}+\beta v_{1}\right)+5 \cdot\left(\alpha u_{2}+\beta v_{2}\right) \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>-2 \cdot\left(\alpha u_{1}+\beta v_{1}\right)+3 \cdot\left(\alpha u_{2}+\beta v_{2}\right)</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>\left(4 \cdot \alpha u_{1}+5 \cdot \alpha u_{2}\right)+\left(4 \cdot \beta v_{1}+5 \cdot \beta v_{2}\right) \\ \</p>
<p>0 \\</p>
<p>\left(-2 \cdot \alpha u_{1}+3 \cdot \alpha u_{2}\right)+\left(-2 \cdot \beta v_{1}+3 \cdot \beta v_{2}\right)</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{f(\alpha u+\beta v)} &amp;=\alpha \cdot\left(\begin{array}{c}</p>
<p>4 u_{1}+5 u_{2} \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>-2 u_{1}+3 u_{2}</p>
<p>\end{array}\right)+\beta \cdot\left(\begin{array}{c}</p>
<p>4 v_{1}+5 v_{2} \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>-2 v_{1}+3 v_{2}</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>&amp;=\alpha \cdot f(u)+\beta \cdot f(v) \quad \checkmark</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Somit sind alle Bedingungen für Linearität erfüllt!</p>

<p>Prüfe ob die folgende Abbildung eine linear ist:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \quad, \quad\left(\begin{array}{l}</p>
<p>x \\</p>
<p>y</p>
<p>\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}</p>
<p>4 x+5 y \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>-2 x+3 y</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Prüfe ob die folgende Abbildung eine linear ist:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \quad, \quad\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}
4 x+5 y \\
0 \\
-2 x+3 y
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="38.568ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 17046.9 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10248-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-10248-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Linearität einer Abbildung prüfen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Lineare Abbildungen - Linearität einer Abbildung prüfen | Aufgabe mit 


<h2 class="content_sub_heading">Abbildung auf Linearität prüfen</h2>
<ol>
<li>Setze das Nullelement von $V$ in die Abbildung ein und prüfe, ob das Nullelement von $W$ herauskommt.<br /><br /></li>
<li>Definiere zwei Elemente $v,w \in V$ und zeige durch Einsetzen und Umformen, dass $f(v+w)=f(v)+f(w)$ gilt.<br /><br /></li>
<li>Definiere nun zusätzlich ein Skalar $\lambda \in \mathbb{R}$ und zeige durch Einsetzen und Umformen, dass $f(\lambda v)=\lambda f(v)$ gilt.</li>
</ol>
<p><strong>Tipps:</strong></p>
<ul>
<li>Du kannst Schritt 2 und 3 auch in einem duchführen, indem du zwei Skalare $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ und 2 Elemente $u,v \in V$ einführst und zeigst: $f(\alpha \cdot v+ \beta \cdot w)=\alpha \cdot f(v)+ \beta \cdot f(w)$</li>
<li>Wenn die Funktion Terme höherer Potenzen enthält (z.B $x^2$), so liegt meist keine Linearität vor. In diesem Fall kann es schneller gehen, wenn du eine der oben geforderten Bedingungen durch einen konkreten Gegenbeweis widerlegst.</li>
</ul>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: