Auflagerkräfte

Schwerpunkte paralleler angreifender Kräfte

Massen- und Volumenmittelpunkt (Körper)

Flächenschwerpunkt (Ebene)

Linienschwerpunkt (Ebene)

Guldinsche Oberflächenregel und Volumenregel

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>\begin{align*}m=1,369 \mathrm{kg}\end{align*}</p>

<p>Skizze mit allen benötigten geometrischen Größen:</p>


<p>Der erzeugende Querschnitt setzt sich zusammen aus dem Quadrat 1, von dem das Rechteck 2 und die beiden Viertelkreise 3 und 4 abgezogen werden.</p>


<p>\begin{align*}A=\frac{1}{4} \pi r^{2}\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>r_{S}&amp;=r_{0}+2 r \frac{\sin (\pi / 4)}{3 \pi / 4} \cos (\pi / 4) \\</p>
<p>&amp;=r_{0}+\frac{4 r}{3 \pi}</p>
<p>\end{align*} </p>
<p>Mit $r_{0}$ als der Radius des Mittelpunkts.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
r_{S}&=r_{0}+2 r \frac{\sin (\pi / 4)}{3 \pi / 4} \cos (\pi / 4) \\
&=r_{0}+\frac{4 r}{3 \pi}
\end{align*}" style="vertical-align: -4.843ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="29.458ex" height="10.817ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2640.5 13020.6 4781" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1010-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1010-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 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transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(451, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2410.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3410.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3910.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4361.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-73"></use><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-69" transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1617, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2187, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2687, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3187, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(973, -710)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1070, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1570, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-34"></use></g></g><rect width="3776" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8377.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-63"></use><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-6F" transform="translate(444, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-73" transform="translate(944, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9715.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9715.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10104.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(10674.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(11174.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11674.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1432.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(957.1, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(957.1, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(451, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2410.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3410.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(279.5, 676)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-I-1D45F"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-1010-TEX-I-1D70B"></use></g></g><rect width="1270" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> </p>
<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="r_{0}" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.933ex" height="1.375ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 854.6 607.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1011-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1011-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1011-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(451, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1011-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> als der Radius des Mittelpunkts.</p>


<p>Zahlenwerte für Teilflächen berechnen:</p>


<p>\begin{array}{|l|c|c|c|}</p>
<p>\hline &amp; A_{i} &amp; r_{S i} &amp; r_{S i} A_{i} \\</p>
<p>\hline 1 &amp; 40 \cdot 40=1600 &amp; 20 &amp; 32000 \\</p>
<p>\hline 2 &amp; -20 \cdot 10=-200 &amp; 10 &amp; -2000 \\</p>
<p>\hline 3 &amp; -\pi \cdot 10^{2} / 4=-25 \pi &amp; \frac{4 \cdot 10}{3 \pi}=\frac{40}{3 \pi} &amp; -\frac{1000}{3} \\</p>
<p>\hline 4 &amp; -\pi \cdot 10^{2} / 4=-25 \pi &amp; 20+\frac{40}{3 \pi} &amp; -500 \pi-\frac{1000}{3} \\</p>
<p>\hline \text { Summe } &amp; &amp; &amp; 27763 \\</p>
<p>\hline &amp; \mathrm{mm}^{2} &amp; \mathrm{mm} &amp; \mathrm{mm}^{3} \\</p>
<p>\hline</p>
<p>\end{array}</p>


<p>\begin{align*}V=2 \pi \cdot 27763 \mathrm{mm}^{3}=174437 \mathrm{mm}^{3}\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>m&amp;=\rho V=7,85 \cdot 10^{-6} \mathrm{kg} / \mathrm{mm}^{3} \cdot 174437 \mathrm{mm}^{3} \\</p>
<p>&amp;=1,369 \mathrm{kg}\end{align*}</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Bestimmen Sie die Masse $m$ des abgebildeten Rotationskörpers.</p>
<p> </p>
<p><strong>Gegeben:<br /></strong>Massendichte: $\rho=7,85 \cdot 10^{-6} \mathrm{kg} / \mathrm{mm}^{3}$</p>
<p>Alle Maße in $mm$</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5f00bc3daf792d0067e07a87.png" alt="Rotationskörper mit Ausbohrung und Ausfräsung" width="100%" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Bestimmen Sie die Masse <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="m" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.986ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 878 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1006-TEX-I-1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1006-TEX-I-1D45A"></use></g></g></g></svg></mjx-container> des abgebildeten Rotationskörpers.</p>
<p> </p>
<p><strong>Gegeben:<br /></strong>Massendichte: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\rho=7,85 \cdot 10^{-6} \mathrm{kg} / \mathrm{mm}^{3}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.78ex" height="2.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864 10068.9 1114" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1007-TEX-I-1D70C" d="M58 -216Q25 -216 23 -186Q23 -176 73 26T127 234Q143 289 182 341Q252 427 341 441Q343 441 349 441T359 442Q432 442 471 394T510 276Q510 219 486 165T425 74T345 13T266 -10H255H248Q197 -10 165 35L160 41L133 -71Q108 -168 104 -181T92 -202Q76 -216 58 -216ZM424 322Q424 359 407 382T357 405Q322 405 287 376T231 300Q217 269 193 170L176 102Q193 26 260 26Q298 26 334 62Q367 92 389 158T418 266T424 322Z"></path><path id="MJX-1007-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Guldinsche Oberflächenregel und Volumenregel mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Schwerpunkt, Schwerpunktslehre - Guldinsche Oberflächenregel und Volum

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: