Exakte DGL

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

Anfangswertproblem

Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung)

Satz von Picard-Lindelöf 

Bernoullische DGL

Riccatti-DGL

Riccatische DGL

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Dies ist eine Zusammenfassung der Theorie zu: Riccatti-DGL

Riccatische DGL | Theorie Zusammenfassung

<p>Riccatische DGL´s sind, was ihre Form und Lösung angeht, eng verbunden mit der Bernoullischen DGL und linearen DGL´s 1. Ordnung. </p>
<p>Man nennt eine Differentialgleichung Riccatische DGL, wenn sie die folgende Form hat:</p>


<div id=5f083d557cef31ebdc29a1d1 class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Form der Riccatischen DGL</h2>
<p>\begin{align*}\quad y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)\end{align*}</p>
</div></div>
<p><br />Dabei können $g(x), h(x)$ und $k(x)$ ganz beliebige Funktionen sein. Falls $k(x)=0$, dann spricht man von einer Bernoullischen DGL.</p>
<p><br />Um die allgemeine Lösung dieser Art von DGL zu finden, musst du zunächst eine spezielle Lösung $y_{s}(x)$ finden. Für diese spezielle Lösung $y_{s}(x)$ gibt es kein Lösungsverfahren, du musst sie also raten oder sie wird dir sonst irgendwie mitgeteilt (z.B. in der Aufgabenstellung). </p>


<div id=5f083b5f7cef31ebdc299b47 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Allgemeine Lösung einer Riccatischen DGL bestimmen<span style="font-size: 26px; font-weight: bold; text-decoration: underline;"><br /></span></h2>
<p>Mit gegebener spezieller Lösung $y_{s}(x)$, kannst du die allgemeine Lösung folgendermaßen bestimmen:</p>
<ol>
<li>Setze die Funktion $y(x)=v(x)+y_{s}(x)$ in deine Riccatische DGL ein. Nach einigem Umformen* erhältst du dann: <br />$\quad v^{\prime}+\left(g(x)+2 h(x) y_{s}(x)\right) \cdot v+h(x) \cdot v^{2}=0$<br /><br /></li>
<li>Jetzt hast du eine Bernoullische DGL für $v(x)$ und $\alpha=2$.<br /><br /></li>
<li>Ähnlich wie beim Lösen der Bernoulli-DGL transformierst du nun deine DGL mit $v=z^{-1}=\frac{1}{z}$ und erhältst dadurch eine lineare DGL 1. Ordnung für $z$:<br />\begin{align*}\quad z^{\prime}-\left(g(x)+2 h(x) y_{s}(x)\right) \cdot z-h(x)=0\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Löse jetzt die lineare DGL 1. Ordnung. Dadurch erhältst du eine Lösung für $z$.<br /><br /></li>
<li>Jetzt setzt du diese allgemeine Lösung für $z(x)$ in die Transformationsgleichungen ein und transformierst zurück:<br />\begin{align*}\quad y(x) &amp;=v(x)+y_{s}(x) =\frac{1}{z(x)}+y_{s}(x) \end{align*}</li>
</ol>
</div></div>


<p><span style="font-size: 24px; font-weight: bold;">Herleitung der DGL in Schritt 1:</span></p>
<p>\begin{aligned}</p>
<p>y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2} &amp;=k(x) \\</p>
<p>\left(v+y_{s}\right)^{\prime}+g(x) \cdot\left(v+y_{s}\right)+h(x) \cdot\left(v+y_{s}\right)^{2} &amp;=k(x) \\</p>
<p>v^{\prime}+y_{s}^{\prime}+g(x) \cdot v+g(x) \cdot y_{s}+h(x) \cdot v^{2}+2 h(x) y_{s} \cdot v+y_{s}^{2} &amp;=k(x) \\</p>
<p>v^{\prime}+\left(g(x)+2 h(x) y_{s}\right) \cdot v+h(x) \cdot v^{2}+\underbrace{y_{s}^{\prime}+g(x) \cdot y_{s}+h(x) \cdot y_{s}^{2}}_{=k(x)} &amp;=k(x) \\</p>
<p>v^{\prime}+\left(g(x)+2 h(x) y_{s}\right) \cdot v+h(x) \cdot v^{2}+k(x) &amp;=k(x) \\</p>
<p>v^{\prime}+\left(g(x)+2 h(x) y_{s}\right) \cdot v+h(x) \cdot v^{2} &amp;=0</p>
<p>\end{aligned}</p>

Riccatische DGL

Form der Riccatischen DGL

Allgemeine Lösung einer Riccatischen DGL bestimmen

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