Statik in der Ebene

Resultierende und Zerlegung von Kräften

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene

Zerlegung von Kräften in der Ebene und Komponentendarstellung

Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht)

Gleichgewicht in der Ebene

Beispiele zentraler ebener Kräftegruppen (Seil-, Stabkräfte, ...)

Zentrale Kräftegruppen im Raum

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<p>\begin{align*}</p>
<p>R_{z}=-96 \mathrm{kN}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Richtungsvektoren der Kräfte aus Geometrie:</p>


<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>\begin{align*}\begin{array}{l}</p>
<p>L=\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}} \\</p>
<p>\begin{array}{l}</p>
<p>\left|\vec{e}_{A}\right|=\frac{1}{L}\left[\begin{array}{c}</p>
<p>b \\</p>
<p>-a \\</p>
<p>-h</p>
<p>\end{array}\right], \quad \left[\vec{e}_{B}\right]=\frac{1}{L}\left[\begin{array}{c}</p>
<p>b \\</p>
<p>a \\</p>
<p>-h</p>
<p>\end{array}\right] \\</p>
<p>{\left[\vec{e}_{C}\right]=\frac{1}{L}\left[\begin{array}{c}</p>
<p>-b \\</p>
<p>a \\</p>
<p>-h</p>
<p>\end{array}\right], \quad \left[\vec{e}_{D}\right]=\frac{1}{L}\left[\begin{array}{c}</p>
<p>-b \\</p>
<p>-a \\</p>
<p>-h</p>
<p>\end{array}\right]}</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{array}\end{align*}</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efe406caf792d0067e07a0b.png" alt="Freischnitt: Rechteckiger Rahmen hängt an 4 Seilen mit gleicher Zugkraft." width="100%" /></p>
</div>
</div>


<p>\begin{align*}\begin{array}{l}</p>
<p>L=\sqrt{4^{2}+6^{2}+12^{2}} \mathrm{m}=14 \mathrm{m} \\</p>
<p>\left[\vec{e}_{A}\right]=\frac{1}{7}\left[\begin{array}{c}</p>
<p>3 \\</p>
<p>-2 \\</p>
<p>-6</p>
<p>\end{array}\right], \quad \left[\vec{e}_{B}\right]=\frac{1}{7}\left[\begin{array}{c}</p>
<p>3 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>-6</p>
<p>\end{array}\right] \\</p>
<p>\left[\vec{e}_{C}\right]=\frac{1}{7}\left[\begin{array}{c}</p>
<p>-3 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>-6</p>
<p>\end{array}\right], \quad \left[\vec{e}_{D}\right]=\frac{1}{7}\left[\begin{array}{c}</p>
<p>-3 \\</p>
<p>-2 \\</p>
<p>-6</p>
<p>\end{array}\right]</p>
<p>\end{array}\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\vec{R}=S\left(\vec{e}_{A}+\vec{e}_{B}+\vec{e}_{C}+\vec{e}_{D}\right)\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}\begin{array}{l}</p>
<p>R_{x}=\frac{S}{7}(3+3-3-3)=0 \\</p>
<p>R_{y}=\frac{S}{7}(-2+2+2-2)=0 \\</p>
<p>R_{z}=\frac{S}{7}(-6-6-6-6)=-\frac{24}{7} S</p>
<p>\end{array}\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}R_{z}=-\frac{24}{7} \cdot 28 \mathrm{kN}=-96 \mathrm{kN}\end{align*}</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Der rechteckige Rahmen $A B C D$ hängt an vier Seilen, die im Punkt $E$ befestigt sind. Die Zugkraft hat in allen vier Seilen den gleichen Wert $S.$</p>
<p> </p>
<p>Ermitteln die resultierende Kraft $R$ die am Punkt $E$ angreift.</p>
<p> </p>
<p><strong>Gegeben: </strong></p>
<p>$S=28~ \mathrm{kN}$</p>
<p>$a=4 ~\mathrm{m},\ b=6 ~\mathrm{m},\ h=12 ~\mathrm{m}$</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efe3d39af792d0067e07a0a.png" alt="Rechteckiger Rahmen hängt an 4 Seilen mit gleicher Zugkraft." width="100%" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Resultierende und Zerlegung von Kräften mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Zentrale Kräftesysteme (Grundaufgaben in Ebene und Raum) - Resultieren


<h2 class="content_sub_heading">Resultierende eines zentralen Kraftsystems mit n Kräften</h2>
<p>\[<br />R=F_1+F_2+\ldots+F_n=\sum F_i<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Resultierende eines zentralen Kraftsystems mit n Kräften</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
R=F_1+F_2+\ldots+F_n=\sum F_i
" style="vertical-align: -1.018ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="32.026ex" height="3.167ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -950 14155.4 1400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-93-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 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<p>Hinweis: Beim analytischen Lösen mit einer Kräfteskizze können wir jedoch auf einen Maßstab verzichten.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Grafische Addition von Kräften in einem zentralen Kraftsystem</h2>
<p><strong>Kräfteplan:</strong></p>
<p>Wir zeichnen die Kräfte mit Rücksicht auf Maßstab und Richtung hintereinander ein. Dabei den Maßstab für die Kräfte angeben (z.B. $1\, \mathrm{cm} \,\widehat{=} \,100\, \mathrm{N}$)</p>
<p> </p>
<p><strong>Lageplan:</strong></p>
<p>Der Lageplan entspricht einer maßstäblichen Darstellung der geometrischen Eigenschaften. <span style="color: #e03e2d;"><span style="color: #000000;">Bei einer zentralen Kräftegruppe, enthält er nur die Wirkungslinien der Kräfte.</span></span></p>



<h2 class="content_sub_heading">Grafische Addition von Kräften in einem zentralen Kraftsystem</h2>
<p><strong>Kräfteplan:</strong></p>
<p>Wir zeichnen die Kräfte mit Rücksicht auf Maßstab und Richtung hintereinander ein. Dabei den Maßstab für die Kräfte angeben (z.B. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1\, \mathrm{cm} \,\widehat{=} \,100\, \mathrm{N}" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.382ex" height="2.405ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -981 5473 1063" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-97-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-97-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-97-TEX-N-6D" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q351 442 364 440T387 434T406 426T421 417T432 406T441 395T448 384T452 374T455 366L457 361L460 365Q463 369 466 373T475 384T488 397T503 410T523 422T546 432T572 439T603 442Q729 442 740 329Q741 322 741 190V104Q741 66 743 59T754 49Q775 46 803 46H819V0H811L788 1Q764 2 737 2T699 3Q596 3 587 0H579V46H595Q656 46 656 62Q657 64 657 200Q656 335 655 343Q649 371 635 385T611 402T585 404Q540 404 506 370Q479 343 472 315T464 232V168V108Q464 78 465 68T468 55T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-97-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-97-TEX-SO-2C6" d="M279 669Q273 669 142 610T9 551L0 569Q-8 585 -8 587Q-8 588 -7 588L12 598Q30 608 66 628T136 666L277 744L564 587L555 569Q549 556 547 554T544 552Q539 555 410 612T279 669Z"></path><path id="MJX-97-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-97-TEX-N-4E" d="M42 46Q74 48 94 56T118 69T128 86V634H124Q114 637 52 637H25V683H232L235 680Q237 679 322 554T493 303L578 178V598Q572 608 568 613T544 627T492 637H475V683H483Q498 680 600 680Q706 680 715 683H724V637H707Q634 633 622 598L621 302V6L614 0H600Q585 0 582 3T481 150T282 443T171 605V345L172 86Q183 50 257 46H274V0H265Q250 3 150 3Q48 3 33 0H25V46H42Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(667,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-63"></use><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-6D" transform="translate(444,0)"></use></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(1944,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2111,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(389,137) translate(-278 0)"><use data-c="2C6" xlink:href="#MJX-97-TEX-SO-2C6"></use></g></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(2889,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3056,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-31"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-30" transform="translate(1000,0)"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4556,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4723,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4E" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-4E"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>)</p>
<p> </p>
<p><strong>Lageplan:</strong></p>
<p>Der Lageplan entspricht einer maßstäblichen Darstellung der geometrischen Eigenschaften. <span style="color: #e03e2d;"><span style="color: #000000;">Bei einer zentralen Kräftegruppe, enthält er nur die Wirkungslinien der Kräfte.</span></span></p>



<h2 class="content_sub_heading">Resultierende in der Ebene</h2>
<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\boldsymbol{R} &amp;=R_{x} \boldsymbol{e}_{x}+R_{y} \boldsymbol{e}_{y}=\sum \boldsymbol{F}_{i}=\sum\left(F_{i x} \boldsymbol{e}_{x}+F_{i y} \boldsymbol{e}_{y}\right) \\<br />&amp;=\left(\sum F_{i x}\right) \boldsymbol{e}_{x}+\left(\sum F_{i y}\right) \boldsymbol{e}_{y}<br />\end{aligned}<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Resultierende in der Ebene</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\begin{aligned}
\boldsymbol{R} &=R_{x} \boldsymbol{e}_{x}+R_{y} \boldsymbol{e}_{y}=\sum \boldsymbol{F}_{i}=\sum\left(F_{i x} \boldsymbol{e}_{x}+F_{i y} \boldsymbol{e}_{y}\right) \\
&=\left(\sum F_{i x}\right) \boldsymbol{e}_{x}+\left(\sum F_{i y}\right) \boldsymbol{e}_{y}
\end{aligned}
" style="vertical-align: -3.393ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="48.662ex" height="7.916ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1999.5 21508.5 3499" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-32-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 314Q374 312 343 189T311 64Q311 62 355 62H382Q414 62 414 44Q410 6 397 2L393 0L351 1Q325 2 221 2Q147 2 108 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM687 555Q687 617 589 623Q581 624 513 624H451L420 498Q413 468 405 436T392 388L388 371Q388 369 458 369Q464 369 485 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transform="translate(872,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(872,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-32-TEX-LO-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(597,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-32-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2207.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(676,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3582.1,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-32-TEX-LO-29"></use></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5512.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D486" xlink:href="#MJX-32-TEX-BI-1D486"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(587,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6776.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(7776.5,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-32-TEX-LO-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(597,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-32-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2207.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(676,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3524.1,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-32-TEX-LO-29"></use></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(11897.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D486" xlink:href="#MJX-32-TEX-BI-1D486"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(587,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


Du kannst das Koordinatensystem beliebig wählen, jedoch kannst du dir viele Rechnungen sparen, wenn du es zweckmäßig wählst.


<p>Merke: Die Wirkung zweier Kräfte $\boldsymbol{F}_{1}$ und $\boldsymbol{F}_{2}$, die an einem Punkt angreifen, ist der Wirkung einer Resultierenden $\boldsymbol{R}$, die sich aus dem aufgespannten Parallelogramm ergibt, gleichwertig.</p>



<p>Merke: Die Wirkung zweier Kräfte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{F}_{1}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.547ex" height="1.878ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1125.6 830" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-90-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-90-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-90-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-90-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{F}_{2}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.547ex" height="1.878ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1125.6 830" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-91-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-91-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-91-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-91-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>, die an einem Punkt angreifen, ist der Wirkung einer Resultierenden <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{R}" style="vertical-align: -0.038ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.973ex" height="1.59ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -686 872 703" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-92-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 314Q374 312 343 189T311 64Q311 62 355 62H382Q414 62 414 44Q410 6 397 2L393 0L351 1Q325 2 221 2Q147 2 108 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM687 555Q687 617 589 623Q581 624 513 624H451L420 498Q413 468 405 436T392 388L388 371Q388 369 458 369Q464 369 485 369T515 369T541 372T570 377T596 386T624 400Q649 417 664 457T683 522T687 555Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D479" xlink:href="#MJX-92-TEX-BI-1D479"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, die sich aus dem aufgespannten Parallelogramm ergibt, gleichwertig.</p>



<p>Hinweis: Die Resultierende $\boldsymbol{R}$ ergibt sich als Vektor, der vom Startpunkt $a$ zum Endpunkt $b$ der hintereinander eingetragenen Kräfte zeigt.</p>



<p>Hinweis: Die Resultierende <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{R}" style="vertical-align: -0.038ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.973ex" height="1.59ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -686 872 703" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-94-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 314Q374 312 343 189T311 64Q311 62 355 62H382Q414 62 414 44Q410 6 397 2L393 0L351 1Q325 2 221 2Q147 2 108 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM687 555Q687 617 589 623Q581 624 513 624H451L420 498Q413 468 405 436T392 388L388 371Q388 369 458 369Q464 369 485 369T515 369T541 372T570 377T596 386T624 400Q649 417 664 457T683 522T687 555Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D479" xlink:href="#MJX-94-TEX-BI-1D479"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt sich als Vektor, der vom Startpunkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-95-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-95-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zum Endpunkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="b" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-96-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-96-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> der hintereinander eingetragenen Kräfte zeigt.</p>



<p>Hinweis: Bei grafischer Addition zweier Kräfte (Reduktion) reicht es aus ein Kräftedreieck, also ein <em>halbes Parallelogram</em>, zu zeichen.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Bestimmung des Betrags und der Richtung eines Kraftvekors in der Ebene</h2>
<p><span style="color: #e03e2d;"><span style="color: #000000;">\begin{array}{ll} <br />F_{x}=F \cos \alpha, &amp; F_{y}=F \sin \alpha \\<br />F=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}, &amp; \tan \alpha=\frac{F_{y}}{F_{x}}<br />\end{array}</span></span></p>



<h2 class="content_sub_heading">Bestimmung des Betrags und der Richtung eines Kraftvekors in der Ebene</h2>
<p><span style="color: #e03e2d;"><span style="color: #000000;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{array}{ll} 
F_{x}=F \cos \alpha, & F_{y}=F \sin \alpha \\
F=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}, & \tan \alpha=\frac{F_{y}}{F_{x}}
\end{array}" style="vertical-align: -3.173ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.41ex" height="7.477ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1902.5 13441.1 3305" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-31-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-31-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 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<h2 class="content_sub_heading">Kraftkomponenten in $x$- und $y$ - Richtung</h2>
<p>\[<br />\boldsymbol{F}_{x}=F_{x} \boldsymbol{e}_{x}, \quad \boldsymbol{F}_{y}=F_{y} \boldsymbol{e}_{y},<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Kraftkomponenten in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-28-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>- und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-29-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-29-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> - Richtung</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\boldsymbol{F}_{x}=F_{x} \boldsymbol{e}_{x}, \quad \boldsymbol{F}_{y}=F_{y} \boldsymbol{e}_{y},
" style="vertical-align: -0.667ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.689ex" height="2.206ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 10912.6 975" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 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Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: