Stetigkeit (mehrdimensional)

auch: Stetigkeit mehrdimensionaler Abbildungen oder multivariater Funktionen.

 
Definition

Stetigkeit (mehrdimensional)

Man nennt eine Funktion (mit Variablen) stetig im Punkt , wenn

Hier steht für alle Variablen, also .

Man kann alternativ auch durch Folgen , die im Unendlichen gegen den  Punkt konvergieren, ersetzen.

Dann sieht die Definition der Stetigkeit folgendermaßen aus:

ist stetig in , wenn

mit Grenzwert der Folge

 
Hinweis

Wichtig ist hier, dass Stetigkeit mit Folgen nur bewiesen ist, wenn dies für alle Folgen gilt!

(Deswegen verwendet man dies meistens um Unstetigkeit zu zeigen, dann reicht es eine Folge zu finden für die es nicht gilt).

Wenn du überprüfen willst, ob eine Funktion mit zwei Variablen stetig ist, gehe folgendermaßen vor:

 
Vorgehen

Stetigkeit zeigen (mehrdimensional)

  1. Prüfe, in welchen Definitionsbereichen die Funktion eine Komposition (Zusammensetzung/Verkettung) aus stetigen Funktionen ist.

  2. Überprüfe nun die Stetigkeit im kritischen Punkt . Dazu schreibst du die Variablen in Polarkoordinaten:
     
    mit

  3. Stelle jeweils nach und um:

    mit

  4. Setze und in die Funktion ein (für  Definitionsbereich ) und berechne:
  5. Wenn dieser Grenzwert () dem Funktionswert an der Stelle entspricht, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig!

Wenn du zeigen willst, dass eine Funktion an der Stelle unstetig ist, gehe folgendermaßen vor:

 
Vorgehen

Unstetigkeit zeigen (mehrdimensional)

  1. Finde eine Folge , die für nach konvergiert und eine Folge , die für nach konvergiert (wenn dein kritischer Punkt ist). 

  2. Setze und in die Funktion ein (für Definitionsbereich ) und berechne


  3. Falls dieser Grenzwert () dem Funktionswert an der Stelle nicht entspricht, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig!