test

Orthogonaltrajektorien

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Triviale DGL

Triviale Differentialgleichungen

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

Anfangswertproblem

Variation der Konstanten (inhomogen)

Variation der Konstanten

DGL Systeme

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Höhere Ordnungen

Lineare homogene DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

\[\begin{align*}y(x) =-12 x^{-1}+\frac{1}{3} x^{2}+1\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}y(x) =-12 x^{-1}+\frac{1}{3} x^{2}+1\end{align*}" style="vertical-align: -1.753ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.8ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1275 11403.7 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-10-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 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175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-67)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-10-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1451,0)"><use data-c="29" 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Löse diese DGL mit Hilfe der allgemeinen Formel für inhomogene lineare DGLs:

\[\begin{aligned}
x y^{\prime}+y &amp;=x^{2}+1 \\\\
\Leftrightarrow y^{\prime}+\frac{y}{x} &amp;=\frac{x^{2}+1}{x} \\\\
\Leftrightarrow y^{\prime}+\frac{1}{x} \cdot y &amp;=\frac{x^{2}+1}{x}
\end{aligned}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{aligned}
x y^{\prime}+y &=x^{2}+1 \\\\
\Leftrightarrow y^{\prime}+\frac{y}{x} &=\frac{x^{2}+1}{x} \\\\
\Leftrightarrow y^{\prime}+\frac{1}{x} \cdot y &=\frac{x^{2}+1}{x}
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data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,1300)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1711,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2100,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6,0) translate(0 1)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-4-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2444.2,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(256,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-686)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D465"></use></g><rect width="772" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3456.2,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3976.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-611)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2100,0)"></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1911)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2100,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2100,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1333.6,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2167.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2334.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze in die allgemeine Formel ein:

\[\begin{aligned}
y(x) &amp;=e^{-\ln x}\left(c+\int e^{\ln x} \frac{x^{2}+1}{x} d x\right) \\\\
&amp;=x^{-1}\left(c+\int x \frac{x^{2}+1}{x} d x\right) \\\\
&amp;=x^{-1}\left(c+\int x^{2}+1 d x\right)
\end{aligned}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{aligned}
y(x) &=e^{-\ln x}\left(c+\int e^{\ln x} \frac{x^{2}+1}{x} d x\right) \\\\
&=x^{-1}\left(c+\int x \frac{x^{2}+1}{x} d x\right) \\\\
&=x^{-1}\left(c+\int x^{2}+1 d x\right)
\end{aligned}" style="vertical-align: -11.332ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="35.818ex" height="23.796ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -5508.9 15831.4 10517.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 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\[\begin{aligned}
\int x^{2}+1 d x &amp;=\int x^{2} d x+\int 1 d x \\\\
&amp;=\frac{1}{3} x^{3}+x
\end{aligned}\]

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\int x^{2}+1 d x &=\int x^{2} d x+\int 1 d x \\\\
&=\frac{1}{3} x^{3}+x
\end{aligned}" style="vertical-align: -6.077ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.325ex" height="13.285ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3186 13403.6 5872" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 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578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,1825)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 1)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-6-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1110.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2341.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3341.7,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3841.7,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4361.7,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4933.7,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6,0) translate(0 1)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-6-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2444.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3452.8,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" 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data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2273.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3504.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4504.6,0)"><use data-c="1D465" 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Setze die Lösung des Integrals in die Formel ein um die allgemeine Lösung der DGL zu bekommen:

\[\begin{aligned}
y(x) &amp;=x^{-1}\left(c+\frac{1}{3} x^{3}+x\right) \\\\
&amp;=c x^{-1}+\frac{1}{3} x^{2}+1
\end{aligned}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{aligned}
y(x) &=x^{-1}\left(c+\frac{1}{3} x^{3}+x\right) \\\\
&=c x^{-1}+\frac{1}{3} x^{2}+1
\end{aligned}" style="vertical-align: -6.277ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.627ex" height="13.686ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3274.5 11769.3 6049" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 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Nutze den Anfangswert für die spezielle Lösung:

\[\begin{aligned}
y(3) &amp;=0 \\
\Leftrightarrow  \ \  \  \frac{c}{3}+\frac{1}{3} \cdot 3^{2}+1 &amp;=0 \\
c &amp;=-12
\end{aligned}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{aligned}
y(3) &=0 \\
\Leftrightarrow  \ \  \  \frac{c}{3}+\frac{1}{3} \cdot 3^{2}+1 &=0 \\
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Ausgeschrieben ergibt sich folgende Funktion:

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}y(x) =-12 x^{-1}+\frac{1}{3} x^{2}+1\end{align*}" style="vertical-align: -1.753ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.8ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1275 11403.7 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 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Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems:
\[\begin{align*}x y^{\prime}+y&amp;=x^{2}+1 \\\\
y(3)&amp;=0\end{align*}\]

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}x y^{\prime}+y&=x^{2}+1 \\\\
y(3)&=0\end{align*}" style="vertical-align: -3.658ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.101ex" height="8.448ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2117 7116.5 3733.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Variation der Konstanten (inhomogen) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Lineare DGL - Variation der Konstanten (inhomogen) | Aufgabe mit Lösun

<h2 class="content_heading">Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht</h2>
Separierbare DGL 1. Ordnung 
Form: $y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$
Lösung mithilfe Trennung der Variablen:
$$\int \frac{1}{g(y)} d y=\int f(x) d x$$
 
Durch Substitution lösbare DGL Form: $\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c})$ mit $b \neq 0$ Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:
Substituiere: $u=a x+b y+c$, somit ist $y^{\prime}=f(u)$ Dann ist $u^{\prime}=\frac{d u}{d x}=a+b \frac{d y}{d x}=1 \cdot(a+b \cdot f(u))$ Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von $u(x)$. Die Rücksubstitution liefert dir dann $y(x)$
 
<h2 class="content_heading">Lineare DGLs</h2>
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus  1. der allgemeinen Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})$ der zugehörigen homogenen DGL 2. der partikulären Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$ der inhomogenen DGL zusammen:  $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$
 
Homogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=0$ Die allgemeine Lösung lautet:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{F}(\mathrm{x})}$, wobei $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$ und $\mathrm{C} \in \mathrm{R}$.
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{a}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x})$ Lösung durch Variation der Konstanten:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{c}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{A}(\mathrm{x})}$, wobei $c(x)=\int b(x) \cdot e^{+A(x)} d x$ und $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\int \mathrm{a}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Form: $y^{\prime}+a_{0} y=g(x)$, wobei $a_{0}=konstant$ Allgemeine Lösung der homogenen DGL:
$\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{a}_{0} \mathrm{x}}$
 
Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: 
<ol>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{n} x^{n}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{o}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{n} x^{n}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha \neq-\mathrm{a}_{\mathrm{o}}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha=-a_{0}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot x \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{1} \cdot \sin (\beta x)+b_{2} \cdot \cos (\beta x)$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{1} \cdot \sin (\beta x)+c_{2} \cdot \cos (\beta x)$</li>
</ol>
Die allgemeine Lösung ist dann: $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$

<h2 class="content_sub_heading">Typen von DGLs</h2>
Triviale Differentialgleichung $$y^{(n)}=f(x)$$ Getrennte Variablen $$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$$ Linear 1. Ordnung $$y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x)$$ Euler-homogen $$y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$ Lineare Transformation $$y^{\prime}=f(a x+b y+c)$$ Gebrochen rationale Transformation $$y^{\prime}=f\left(\frac{a x+b y+c}{d x+e y+f}\right)$$ Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten $$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=b(x)$$ Bernoulli $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$ Ricatti $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)$$

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL. </li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um. Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen.  </li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter. </li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung $y(x)$ ein.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL. </li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um. Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen.  </li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter. </li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.163ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1840 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1114-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1451,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Differentialgleichung</h2>
Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.

<h2 class="content_sub_heading">Kategorien von DGLs</h2>
gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen
Beispiel: $y(x) = 4y^{\prime}(x) + y^{\prime \prime}(x)$
 
partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen
Beispiel: $y(x,t) = 4 \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} + 3 \frac{\partial{y}}{\partial{x}}$
 
Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung
Beispiel: $y = 4y^{\prime} + y^{\prime \prime}$ (diese DGL ist 2. Ordnung).
 
lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen
Beispiel: $y = 4x^2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime}$
 
nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet
Beispiel: $y^{\prime} = sin(y)$
 
homogene DGL: es gibt keinen Term ohne $y$ (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 0$
 
inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne $y$)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 2x^2$
 
explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also $y(x_n) = y_n$.

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x_n) = y_n" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.584ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4678.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1113-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(879,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1958.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2625,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3680.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.

<h2 class="content_sub_heading">Lösung inhomogener linearer DGL</h2>
Eine inhomogene lineare Differentialgleichung der Form $y^{\prime} + a(x)\cdot{y} = b(x)$ kann mit folgender Formel gelöst werden: $$\quad y=e^{-P(x)}\left(c+\int e^{A(x)} b(x) d x\right)$$ Wobei $A(x)$ die Stammfunktion von $a(x)$ ist und $c$ eine Konstante, die mit Hilfe einer Anfangsbedingung ermittelt werden kann.

<h2 class="content_sub_heading">Variation der Konstanten</h2>
<ol>
<li>Bringe die lineare DGL 1. Ordnung zunächst in die Form $y^{\prime} + a(x)\cdot{y} = b(x)$</li>
<li>Löse dann die homogene lineare DGL 1. Ordnung $y^{\prime} + a(x)\cdot{y} = 0$ mittels Trennung der Variablen Das Ergebnis ist von der Form $y(x) = c{\cdot}e^{-A(x)}$</li>
<li>Jetzt kommt die Variation der Konstanten ins Spiel: Ersetze die Konstante $c$ durch eine Funktion $c(x)$, die von $x$ abhängt.  $\quad y(x) = c(x){\cdot}e^{-A(x)}$</li>
<li>Setze diesen Ausdruck für $y(x)$ und seine  Ableitungen in die zu lösende DGL ( $y^{\prime} + a(x)\cdot{y} = b(x)$) ein und löse nach $c^{\prime}(x)$ auf.</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: