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Aufgabenstellung:

Aus einem Würfel (Kantenlänge ) mit der Dichte ist nach Abb. a ein kleinerer Würfel (Kantenlänge ) herausgeschnitten.

  1. Wo liegt der Schwerpunkt des Körpers?
  2. Wo liegt der Schwerpunkt, wenn der herausgeschnittene Würfel durch ein Material mit der Dichte ersetzt wird (Abb. b).

AbbildungAbbildungAbbildung

Lösungsweg:

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In beiden Fällen können wir den Würfel als einen Körper auffassen, der aus Teilkörpern mit bekannten Schwerpunktslagen besteht.

Im Fall a) ist der Körper homogen (konstante Dichte ), und seine Schwerpunktslage kann einfach bestimmt werden. Wir wählen die in Abb. dargestellten Teilkörper und führen die Auswertung zweckmäßig in einer Tabelle durch:

Das gleiche Ergebnis kann man einfacher erhalten, wenn man als Teilkörper 1 den gesamten Würfel (Kantenlänge ) wählt, von dem dann als Teilkörper 2 der herausgeschnittene kleinere Würfel mit der Kantenlänge abgezogen wird:

Fall b)

Da die Teilkörper unterschiedliche Dichten haben, müssen wir zur Bestimmung der Schwerpunktslage die Gleichungen (4.9) anwenden. Dabei wählen wir als Teilkörper 1 den Körper nach Abb. 4.5 a, dessen Schwerpunktslage ja nun bekannt ist. Teilkörper 2 ist der Würfel mit der Dichte :

Lösung: