Integralgleichung

Exakte DGL

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

Anfangswertproblem

Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung)

Satz von Picard-Lindelöf 

Bernoullische DGL

Riccatti-DGL

Riccatische DGL

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

\begin{aligned}y &amp;=\frac{5}{3} \ln \left(\frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}}+\frac{3}{5} c\right)
\end{aligned}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{aligned}y &=\frac{5}{3} \ln \left(\frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}}+\frac{3}{5} c\right)
\end{aligned}" style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.522ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 9954.8 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8956-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 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65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-8956-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-8956-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-8956-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-8956-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-8956-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-8956-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-8956-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-I-1D466"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(490, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2273.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3107.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3274.2, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-34"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1676, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3081.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4081.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-N-35"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5021.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5454.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-8956-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Verinfache mit Hilfe der e-Funktion:

\begin{aligned}
\ln \left(\left(y^{\prime}\right)^{5}\right)+3 y+\ln (x) &amp;=0 \\
e^{\ln \left(\left(y^{\prime}\right)^{5}+3 y+\ln (x)\right.} &amp;=e^{0} \\
e^{\ln \left(\left(y^{\prime}\right)^{5}\right)} \cdot e^{3 y} \cdot e^{\ln (x)} &amp;=1 \\
\left(y^{\prime}\right)^{5} \cdot e^{3 y} \cdot x &amp;=1
\end{aligned}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{aligned}
\ln \left(\left(y^{\prime}\right)^{5}\right)+3 y+\ln (x) &=0 \\
e^{\ln \left(\left(y^{\prime}\right)^{5}+3 y+\ln (x)\right.} &=e^{0} \\
e^{\ln \left(\left(y^{\prime}\right)^{5}\right)} \cdot e^{3 y} \cdot e^{\ln (x)} &=1 \\
\left(y^{\prime}\right)^{5} \cdot e^{3 y} \cdot x &=1
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Setze $y^{\prime}=\frac{d y}{d x}$ ein und bilde die Integrale:

Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y^{\prime}=\frac{d y}{d x}" style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.421ex" height="3.006ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -975.7 3280.2 1328.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8951-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-8951-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-8951-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-8951-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-8951-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8951-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(490, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8951-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1012.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-8951-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2068, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(249, 485) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8951-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-8951-TEX-I-1D466"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8951-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-8951-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="972.2" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> ein und bilde die Integrale:

\begin{align*}\int e^{\frac{3}{5} y} \mathrm{d} y=\int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \mathrm{d} x\end{align*}

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xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(220, -937.1)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 365.5) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><rect width="1383.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4067.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4623.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1392.8)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4103.7, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4103.7, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2444.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(778, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4177.5, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4733.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1421.3)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4103.7, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4103.7, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="msup" transform="translate(548.5, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 365.5) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(778, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1571.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2349.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -824.9)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(778, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1793.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2794, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-31"></use></g></g><rect width="3494" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5289.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6290, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-I-1D451"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -4248.8)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4103.7, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4103.7, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-34"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2273.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3678.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4679.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-8954-TEX-I-1D451"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Füge die beiden Lösungen zusammen:

\begin{aligned}
\int e^{\frac{3}{5} y} \mathrm{d} y&amp;=\int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \mathrm{d} x \\
\frac{5}{3} e^{\frac{3}{5} y} &amp;=\frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}}+c \\
e^{\frac{3}{5} y} &amp;=\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 4} x^{\frac{4}{5}}+\frac{3}{5} c \\
\frac{3}{5} y &amp;=\ln \left(\frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}}+\frac{3}{5} c\right) \\
y &amp;=\frac{5}{3} \ln \left(\frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}}+\frac{3}{5} c\right)
\end{aligned}

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
$$
\ln \left(\left(y^{\prime}\right)^{5}\right)+3 y+\ln (x)=0
$$
mit $x, y^{\prime}&gt;0$

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\ln \left(\left(y^{\prime}\right)^{5}\right)+3 y+\ln (x)=0
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Trennung der Variablen (Separation) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Nicht lineare DGL - Trennung der Variablen (Separation) | Aufgabe mit 

<h2 class="content_heading">Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht</h2>
Separierbare DGL 1. Ordnung 
Form: $y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$
Lösung mithilfe Trennung der Variablen:
$$\int \frac{1}{g(y)} d y=\int f(x) d x$$
 
Durch Substitution lösbare DGL Form: $\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c})$ mit $b \neq 0$ Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:
Substituiere: $u=a x+b y+c$, somit ist $y^{\prime}=f(u)$ Dann ist $u^{\prime}=\frac{d u}{d x}=a+b \frac{d y}{d x}=1 \cdot(a+b \cdot f(u))$ Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von $u(x)$. Die Rücksubstitution liefert dir dann $y(x)$
 
<h2 class="content_heading">Lineare DGLs</h2>
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus  1. der allgemeinen Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})$ der zugehörigen homogenen DGL 2. der partikulären Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$ der inhomogenen DGL zusammen:  $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$
 
Homogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=0$ Die allgemeine Lösung lautet:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{F}(\mathrm{x})}$, wobei $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$ und $\mathrm{C} \in \mathrm{R}$.
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{a}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x})$ Lösung durch Variation der Konstanten:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{c}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{A}(\mathrm{x})}$, wobei $c(x)=\int b(x) \cdot e^{+A(x)} d x$ und $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\int \mathrm{a}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Form: $y^{\prime}+a_{0} y=g(x)$, wobei $a_{0}=konstant$ Allgemeine Lösung der homogenen DGL:
$\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{a}_{0} \mathrm{x}}$
 
Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: 
<ol>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{n} x^{n}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{o}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{n} x^{n}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha \neq-\mathrm{a}_{\mathrm{o}}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha=-a_{0}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot x \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{1} \cdot \sin (\beta x)+b_{2} \cdot \cos (\beta x)$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{1} \cdot \sin (\beta x)+c_{2} \cdot \cos (\beta x)$</li>
</ol>
Die allgemeine Lösung ist dann: $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$

<h2 class="content_sub_heading">Typen von DGLs</h2>
Triviale Differentialgleichung $$y^{(n)}=f(x)$$ Getrennte Variablen $$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$$ Linear 1. Ordnung $$y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x)$$ Euler-homogen $$y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$ Lineare Transformation $$y^{\prime}=f(a x+b y+c)$$ Gebrochen rationale Transformation $$y^{\prime}=f\left(\frac{a x+b y+c}{d x+e y+f}\right)$$ Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten $$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=b(x)$$ Bernoulli $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$ Ricatti $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)$$

<h2 class="content_sub_heading">Kategorien von DGLs</h2>
gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen
Beispiel: $y(x) = 4y^{\prime}(x) + y^{\prime \prime}(x)$
 
partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen
Beispiel: $y(x,t) = 4 \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} + 3 \frac{\partial{y}}{\partial{x}}$
 
Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung
Beispiel: $y = 4y^{\prime} + y^{\prime \prime}$ (diese DGL ist 2. Ordnung).
 
lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen
Beispiel: $y = 4x^2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime}$
 
nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet
Beispiel: $y^{\prime} = sin(y)$
 
homogene DGL: es gibt keinen Term ohne $y$ (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 0$
 
inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne $y$)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 2x^2$
 
explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL. </li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um. Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen.  </li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter. </li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung $y(x)$ ein.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL. </li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um. Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen.  </li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter. </li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.163ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1840 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1114-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1451,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Differentialgleichung</h2>
Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also $y(x_n) = y_n$.

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x_n) = y_n" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.584ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4678.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1113-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(879,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1958.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2625,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3680.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.

<h2 class="content_sub_heading">Trennung der Variablen</h2>
Wenn DGL von der Form $y^{\prime} = f(x)\cdot{g(y)}$
<ol>
<li>Löse zunächst die Gleichung nach $f(x)$ auf: Die Gleichung hat nun die Form $\frac{1}{g(y)} y{\prime} = f(x)$. </li>
<li>Schreibe nun $y^{\prime}$ als $\frac{dy}{dx}$. $\frac{1}{g(y)} \frac{dy}{dx} = f(x)$. </li>
<li>Multipliziere nun mit $dx$: $\frac{1}{g(y)}dy = f(x)dx$ </li>
<li>Jetzt kannst du beide Seiten integrieren: $\int\frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)dx$ </li>
<li>Löse beide Integrale und stelle nach $y(x)$ um.</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: