Statik in der Ebene

Resultierende und Zerlegung von Kräften

Zusammensetzung von Kräften in der Ebene

Zerlegung von Kräften in der Ebene und Komponentendarstellung

Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht)

Gleichgewicht in der Ebene

Beispiele zentraler ebener Kräftegruppen (Seil-, Stabkräfte, ...)

Zentrale Kräftegruppen im Raum

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<p>\begin{align*}{S_{1}}=\frac{4}{5} F\end{align*}</p><p>\begin{align*}{S}_{2}=\frac{3}{5} F\end{align*}</p><p>\begin{align*}{S_{3}}={-\sqrt{2} F}\end{align*}</p>

<p>Schneide Punkt $A$, wähle ein passendes Koordinatensystem und formuliere die Gleichgewichtsbedingungen:</p>


<p>Schneide Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8419-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8419-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, wähle ein passendes Koordinatensystem und formuliere die Gleichgewichtsbedingungen:</p>


<p>Trage alle Schnittkräfte mit positiver Zugkraft an. Um das rechnen zu erleichtern solltest du außerdem das Koordinatensystem so wählen, dass die Achsen in Richtung der Seile 1 und 2 sowie der Kraft F laufen.</p>


<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>\begin{align*}</p>
<p>\sum F_{x}=0: &amp;&amp; S_{1}+S_{3 x}&amp;=0 \\</p>
<p>\sum F_{y}=0: &amp;&amp; S_{2}+S_{3 y}&amp;=0 \\</p>
<p>\sum F_{z}=0: &amp;&amp; S_{3 z}+F&amp;=0</p>
<p>\end{align*}</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc62bcaf792d0067e078fb.png" alt="Wirkende Kräfte" width="173" height="134" /></p>
</div>
</div>


<p>Formuliere mit Hilfe der Geometrie einen Zusammenhang zwischen den einzelnen Komponenten von $S_3:$</p>


<p>Formuliere mit Hilfe der Geometrie einen Zusammenhang zwischen den einzelnen Komponenten von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="S_3:" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.557ex" height="1.97ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1572.3 870.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8421-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path><path id="MJX-8421-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-8421-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8421-TEX-I-1D446"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(613, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-8421-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1294.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-8421-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Die Komponenten von $S_{3}$ verhalten sich zu $S_{3}$ analogen zu den geometrischen Längen $(L=\text { Länge von Stab } 3):$</p>


<p>Die Komponenten von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="S_{3}" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.3ex" height="1.97ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1016.6 870.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8422-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path><path id="MJX-8422-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8422-TEX-I-1D446"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(613, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-8422-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> verhalten sich zu <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="S_{3}" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.3ex" height="1.97ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1016.6 870.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8423-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 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transform="translate(10880.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-8424-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}\frac{S_{3 x}}{S_{3}}=\frac{4 a}{L}, \quad \frac{S_{3 y}}{S_{3}}=\frac{3 a}{L}, \quad \frac{S_{3 z}}{S_{3}}=\frac{5 a}{L}\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}S_{3 x}: S_{3 y}: S_{3 z}=4: 3: 5\end{align*}</p>


<p>Löse die aufgestellten Gleichgewichtsbedingungen:</p>


<p>\begin{align*}S_{3 z}=-F, \quad {S}_{2}=-S_{3 y}=-\frac{3}{5} S_{3 z}=\frac{3}{5} F\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}{S_{1}}=-S_{3 x}=-\frac{4}{5} S_{3 z}=\frac{4}{5} F\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}{S_{3}}=S_{3z} \sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+1^{2}}={-\sqrt{2} F}\end{align*}</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Aufgabe 1.6 Der durch die Kraft $F$ belastete Stab 3 wird in einer räumlichen Ecke durch zwei waagrechte Seile 1 und 2 gehalten.</p>
<p> </p>
<p>Gesucht sind die Stab- und die Seilkräfte.</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc6245af792d0067e078f7.png" alt="Durch Kraft belasteter Stab" width="186" height="177" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p>Aufgabe 1.6 Der durch die Kraft <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.695ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 749 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8418-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-8418-TEX-I-1D439"></use></g></g></g></svg></mjx-container> belastete Stab 3 wird in einer räumlichen Ecke durch zwei waagrechte Seile 1 und 2 gehalten.</p>
<p> </p>
<p>Gesucht sind die Stab- und die Seilkräfte.</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5efc6245af792d0067e078f7.png" alt="Durch Kraft belasteter Stab" width="186" height="177" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Zentrale Kräftesysteme (Grundaufgaben in Ebene und Raum) - Unbekannte 


<p>Hinweis: Zwei Kräfte befinden sich im Gleichgewicht, wenn diese auf der gleichen Wirkungslinie angreifen und entgegengesetzt gleich groß sind.</p>



<p>Hinweis: Bei mehr als zwei Unbekannten in einer zentralen ebenen Kräftegruppe ist das Problem statisch unbestimmt. Sie können wir nicht alleine mit den Gleichgewichtsbedingungen lösen</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p>$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}=</p>
<p>\mathbf{0}$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{R}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}=
\mathbf{0}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.167ex" height="1.891ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -686 7587.7 836" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-903-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 314Q374 312 343 189T311 64Q311 62 355 62H382Q414 62 414 44Q410 6 397 2L393 0L351 1Q325 2 221 2Q147 2 108 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L302 623Q302 624 258 624ZM687 555Q687 617 589 623Q581 624 513 624H451L420 498Q413 468 405 436T392 388L388 371Q388 369 458 369Q464 369 485 369T515 369T541 372T570 377T596 386T624 400Q649 417 664 457T683 522T687 555Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-903-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 1T65 0Q48 0 43 15Q47 54 60 60Q64 62 113 62H162L163 66Q163 67 231 341T301 616Q301 618 257 618Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-903-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-903-TEX-B-1D7CE" d="M266 654H280H282Q500 654 524 418Q529 370 529 320Q529 125 456 52Q397 -10 287 -10Q110 -10 63 154Q45 212 45 316Q45 504 113 585Q140 618 185 636T266 654ZM374 548Q347 604 286 604Q247 604 218 575Q197 552 193 511T188 311Q188 159 196 116Q202 87 225 64T287 41Q339 41 367 87Q379 107 382 152T386 329Q386 518 374 548Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D479" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D479"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1149.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2205.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3553.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4553.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D46D" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D46D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5956.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-903-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(7012.7,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="1D7CE" xlink:href="#MJX-903-TEX-B-1D7CE"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<p>Hinweis: Die Kräfte $\boldsymbol{F}_{i}$ eines zentralen Kräftesystems können wir immer eindeutig durch eine Resultierende $\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}$ ersetzen.</p>



<p>Hinweis: Die Kräfte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{F}_{i}" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.299ex" height="1.895ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1016 837.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-904-TEX-BI-1D46D" d="M257 618H231Q198 618 198 636Q202 672 214 678L219 680H795Q801 677 804 673T808 666L809 664Q809 659 798 549T783 433Q777 424 755 424Q736 424 730 427T724 444Q724 448 725 468T727 507V524Q727 541 724 554T713 577T698 594T676 605T653 612T625 616T597 617T566 618T538 618H456L455 614Q455 611 424 491L394 371H429Q454 372 463 372T491 378T517 392T536 419T552 464Q556 481 561 484T586 488Q603 488 607 486Q616 482 616 473Q616 467 584 337T549 201Q542 192 521 192Q503 192 497 195T490 209Q490 212 492 224Q499 251 499 269Q499 288 489 296T465 306T417 308L379 309L348 188Q341 161 334 129T322 80L318 65L317 62H375H409Q430 62 438 59T447 45Q444 8 431 2L426 0L377 1Q347 2 231 2Q152 2 111 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data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-904-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eines zentralen Kräftesystems können wir immer eindeutig durch eine Resultierende <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.055ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4444.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-905-TEX-BI-1D479" d="M258 624H235Q214 624 209 626T199 639Q203 678 216 684Q220 686 422 686H446H525Q634 686 698 674T806 620Q843 583 843 535Q843 505 833 478T805 432T768 396T728 370T690 352T662 342L651 338L654 336Q658 334 667 327T688 310Q719 278 719 237Q719 222 710 165T701 94Q701 35 748 35Q775 35 793 57T819 101Q822 112 826 114T843 117H849Q881 117 881 99Q881 78 852 39T781 -11Q765 -17 728 -17Q537 -13 537 94Q537 110 552 169T567 243Q567 292 529 309Q517 316 508 316T441 318H375L374 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<p>Hinweis: Eine zentrale Kräftegruppe befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Resultierenden, also die Vektorsumme der Kräfte Null ist.</p>



<p>Hinweis: Probleme, die wir mithilfe dieser Gleichgewichtsbedingung lösen können, nennen wir statisch bestimmt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Allgemeines Vorgehen zum Lösen von Gleichgewichtsproblem</h2>
<ol>
<li>Schneide den Körper (Punkt) frei.</li>
<li>Skizziere das Freikörperbild und darin die eingeprägten Kräfte, sowie Reaktions- und Schnittkräfte. <br />Beachte hierbei: Stabkräfte immer als Zugkräfte annehmen.</li>
<li>Wähle ein (sinnvolles) Koordinatensystem.</li>
<li>Stelle die Gleichgewichtsbedingungen auf. In der Ebenen 2 Gleichungen, im Raum 3 Gleichungen.</li>
<li>Löse die Gleichungen nach den Unbekannten auf.</li>
</ol>


<p>Merke: Ein Körper, dessen Querschnitt klein gegenüber seiner Länge ist und der <strong>nur Zugkräfte</strong> in Richtung seiner Längsachse aufnehmen kann, wird als <strong>Seil</strong> bezeichnet.</p>


<p>Merke: Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich bei einer zentralen Kräftegruppe in einem gemeinsamen Punkt.</p>


<p><span style="color: #000000;">Merke: Beim <strong>Stab</strong> ist der Querschnitt klein im Vergleich zur Länge (wie beim Seil). Anders als das Seil kann er <strong>sowohl Zug- als auch Druckkräfte</strong> in seiner Längsachsenrichtung aufnehmen kann.</span></p>



<h2 class="content_sub_heading">Komponenten der Resultierenden</h2>
<p>\[<br />R_{x}=\sum F_{i x}, \quad R_{y}=\sum F_{i y}, \quad R_{z}=\sum F_{i z}<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Komponenten der Resultierenden</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
R_{x}=\sum F_{i x}, \quad R_{y}=\sum F_{i y}, \quad R_{z}=\sum F_{i z}
" style="vertical-align: -1.018ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="43.704ex" height="3.167ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -950 19317.4 1400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1201-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 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xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-1201-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Merke: Wenn sich zwei Körper berühren, dann üben sie im Berührungspunkt eine Kontaktkraft aufeinander aus. Sind sie ideal glatt, ist diese senkrecht (in Normalenrichtung) zur Berührungsebene gerichtet und die Tangentialkraft Null.</p>


<p>Hinweis: Unter der Idealbedingung einer vollkommen glatten Oberfläche, wird $T$ Null, sodass nur die Normalkraft $N$ auftritt.</p>


<p>Hinweis: Unter der Idealbedingung einer vollkommen glatten Oberfläche, wird <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="T" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.593ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 704 677" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1170-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-1170-TEX-I-1D447"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Null, sodass nur die Normalkraft <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="N" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.009ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 888 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1171-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-1171-TEX-I-1D441"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auftritt.</p>


In Analogie zum Problem in der Ebene ist eine zentrale Kräftegruppe im Raum im Gleichgewicht, wenn sich ihre Resultierende zu Null addiert.


<p>Merke: Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich bei einer zentralen Kräftegruppe in einem gemeinsamen Punkt.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p>\[<br />\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}=\mathbf{0}<br />\]</p>
<p> </p>
<p>im Raum entspricht dies den drei skalaren Bedingungen:</p>
<p>\[<br />\sum F_{i x}=0, \quad \sum F_{i y}=0, \quad \sum F_{i z}=0<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gleichgewichtsbedingung</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\boldsymbol{R}=\sum \boldsymbol{F}_{i}=\mathbf{0}
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<p> </p>
<p>im Raum entspricht dies den drei skalaren Bedingungen:</p>
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<h2 class="content_sub_heading">Kraftvektor im Raum</h2>
<p>$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{x}+\boldsymbol{F}_{y}+\boldsymbol{F}_{z}=F_{x} \boldsymbol{e}_{x}+F_{y} \boldsymbol{e}_{y}+F_{z} \boldsymbol{e}_{z}$</p>
<p> </p>
<p>Betrag und Richtung:<br />\[<br />\begin{aligned}<br />F &amp;=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}} \\<br />\cos \alpha &amp;=\frac{F_{x}}{F}, \quad \cos \beta=\frac{F_{y}}{F}, \quad \cos \gamma=\frac{F_{z}}{F}<br />\end{aligned}<br />\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Resultierende im Raum</h2>
<br />\begin{aligned}<br />\boldsymbol{R} &amp;=R_{x} \boldsymbol{e}_{x}+R_{y} \boldsymbol{e}_{y}+R_{z} \boldsymbol{e}_{z}=\sum\left(\boldsymbol{F}_{i x}+\boldsymbol{F}_{i y}+\boldsymbol{F}_{i z}\right) \\<br />&amp;=\sum\left(F_{i x} \boldsymbol{e}_{x}+F_{i y} \boldsymbol{e}_{y}+F_{i z} \boldsymbol{e}_{z}\right) \\<br />&amp;=\left(\sum F_{i x}\right) \boldsymbol{e}_{x}+\left(\sum F_{i y}\right) \boldsymbol{e}_{y}+\left(\sum F_{i z}\right) \boldsymbol{e}_{z}<br />\end{aligned}

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: