Matrix invertieren

Inverse einer Matrix

Darstellungsmatrizen

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Addition und Multiplikation von Matrizen

Das Transponieren einer Matrix ist ein weiteres Grundwerkzeug zum Rechnen mit Matrizen. Viele Operationen kannst du mit der Bildung der transponierten Matrix vertauschen oder vereinfachen.

Transponieren

Matrix transponieren

Den Rang einer Matrix berechnen zu können bietet die Grundlage für die Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Darüber hinaus können mit ihm Aussagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen getroffen werden.

Rang

Rang einer Matrix ermitteln

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor $x$ multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild einer Matrix

Der Kern einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, welche bei einer Multiplikation mit ihr zu Null werden. Der Defekt gibt weiter an, aus wie vielen linear unabhängigen Vektoren dein Kern besteht.

Kern und Defekt

Kern einer Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>$$\begin{align*}\operatorname{Bild}(A)&amp;= \left\langle \left(\begin{array}{c}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>-5 \\</p>
<p>-2</p>
<p>\end{array}\right),</p>
<p>\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right),</p>
<p>\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>15</p>
<p>\end{array}\right) \right\rangle</p>
<p>\end{align*}$$</p>

<p>$1$. Bilde die transponierte Matrix von $A$:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-44-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bilde die transponierte Matrix von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-45-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-45-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>Vertausche hierfür die Zeilen und Spalten von $A$.</p>


<p>Vertausche hierfür die Zeilen und Spalten von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-46-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-46-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>$$\begin{align*}A^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>4 &amp; -3 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>5 &amp; 2 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>


<p>$2$. Bringe $A^T$ in Zeilenstufenform (Gauß):</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-48-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-48-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bringe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A^T" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.011ex" height="1.904ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 1330.8 841.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-49-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-49-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-49-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(783,363) scale(0.707)"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-49-TEX-I-1D447"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> in Zeilenstufenform (Gauß):</p>


<p>$$\begin{align*} &amp; \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>4 &amp; -3 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>5 &amp; 2 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\overset{Z_1-Z_3}{\rightarrow} &amp;\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1 &amp; -5 &amp; -2 \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>5 &amp; 2 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>\overset{Z_3 + 5 \cdot Z_1}{\rightarrow} &amp;\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1 &amp; -5 &amp; -2 \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>0 &amp; -23 &amp; -8</p>
<p>\end{array}\right) \\\\</p>
<p>\overset{Z_3 + 23 \cdot Z_2}{\rightarrow} &amp; \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1 &amp; -5 &amp; -2 \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 15</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>


<p>$3$. Transponiere die Matrix zurück:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-51-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-51-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Transponiere die Matrix zurück:</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\left(\begin{array}{rrc}</p>
<p>-1 &amp; 0 &amp; 0 \\</p>
<p>-5 &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>-2 &amp; 1 &amp; 15</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Das Bild entspricht der Menge aller möglichen Linearkombinationen der Spalten.</p>


<p>$$\begin{align*}\operatorname{Bild}(A)&amp;= \left\langle \left(\begin{array}{c}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>-5 \\</p>
<p>-2</p>
<p>\end{array}\right),</p>
<p>\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right),</p>
<p>\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>15</p>
<p>\end{array}\right) \right\rangle</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Alternative Überlegung: Da es keine Nullspalten gibt und die Dimension des Bildes $3$ ist, entspricht das Bild auch dem ganzen Vektorraum $\mathbb{R}^{3}$:</p>


<p>Alternative Überlegung: Da es keine Nullspalten gibt und die Dimension des Bildes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-55-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-55-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist, entspricht das Bild auch dem ganzen Vektorraum <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{R}^{3}" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.621ex" height="1.885ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 1158.6 833.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-56-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path><path id="MJX-56-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-56-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(755,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>$$\begin{align*}\operatorname{Bild}(A) &amp;= \left \langle \left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}</p>
<p>0 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}</p>
<p>0 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right) \right\rangle\\</p>
<p>&amp;= \mathbb{R}^{3}</p>
<p>\end{align*}$$</p>

<p>Ermittel das Bild der folgenden Matrix:</p>
<p>$$\begin{align*}A= \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>4 &amp; 0 &amp; 5 \\</p>
<p>-3 &amp; 1 &amp; 2 \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>

<p>Ermittel das Bild der folgenden Matrix:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}A= \left(\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 5 \\
-3 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -3.733ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.352ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 8111.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-43-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-43-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-43-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-43-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-43-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-43-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-43-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-43-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Bild mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: