Gauß-Jordan-Algorithmus

Inverse mittels Gauß-Jordan-Algorithmus

Alternativ zum Gauß-Jordan-Verfahren gibt es die Möglichkeit die Inverse mittels Determinanten zu bestimmen. Dieses Verfahren bietet sich insbesondere für Matrizen mit $n \leq 3$ an.

Inverse mittels Adjunkte (Determinantenrechnung)

Alternativ zum Gauß-Jordan-Verfahren gibt es die Möglichkeit die Inverse mittels Determinanten zu bestimmen. Dieses Verfahren bietet sich insbesondere für Matrizen mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \leq 3" style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.817ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2433.6 803" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-31-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-31-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-31-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-31-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> an.

Inverse mittels Adjunkter bestimmen (Determinantenberechnung)

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Dies ist eine Zusammenfassung der Theorie zu: Gauß-Jordan-Algorithmus

Inverse mittels Gauß-Jordan-Algorithmus | Theorie Zusammenfassung

<p>Um eine Matrix zu invertieren (besonders empfohlen für Matrizen mit $n \geq 3$), führe folgende Schritten durch:</p>


<p>Um eine Matrix zu invertieren (besonders empfohlen für Matrizen mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \geq 3" style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.817ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2433.6 803" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1095-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1095-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-1095-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1095-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-1095-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-1095-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>), führe folgende Schritten durch:</p>


<div id="5f085ad266d79db01a7b7bd6" class="mceNonEditable extraContainerVorgehen">
<div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable">
<div class="icon-vorgehen"> </div>
Vorgehen</div>
<div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Inverse mittels Gauß-Jordan-Algorithmus</h2>
<ol>
<li>Bilde die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A\vert E_n)$. Die rechte Seite bildet dabei die $n \times n$ Einheitsmatrix $E_n$. Zum Beispiel $(3 \times 3)$:<br /><br />\begin{align*} \quad \Rightarrow\left(A | E_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}a_{1,1} &amp; a_{1,2} &amp; a_{1,3} &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\a_{2,1} &amp; a_{2,2} &amp; a_{2,3} &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\a_{3,1} &amp; a_{3,2} &amp; a_{3,3} &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1\end{array}\right)\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Nutze den Gauß-Jordan-Algorithmus, um den aufgestellten Ausdruck so umzuformen, dass auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht. Das Ergebnis sieht dann zum Beispiel so aus:<br /><br />\begin{align*}\quad \Rightarrow \left(E_{3} | A^{-1}\right)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; b_{1,1} &amp; b_{1,2} &amp; b_{1,3} \\0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; b_{2,1} &amp; b_{2,2} &amp; b_{2,3} \\0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; b_{3,1} &amp; b_{3,2} &amp; b_{3,3}\end{array}\right)\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Die Matrix die nun auf der rechten Seite steht entspricht der gesuchten Inversen von A. Beispiel:<br />\begin{align*}\quad \Rightarrow A^{-1} =\left(\begin{array}{ccc}b_{1,1} &amp; b_{1,2} &amp; b_{1,3} \\b_{2,1} &amp; b_{2,2} &amp; b_{2,3} \\b_{3,1} &amp; b_{3,2} &amp; b_{3,3}\end{array}\right)\end{align*}</li>
</ol>
<p><strong>Hinweis: </strong>Falls du dein Ergebnis prüfen möchtest, kannst du schauen ob aus dem Matrixprodukt $A \cdot A^{-1}$ die Einheitsmatrix $E_n$ folgt.</p>
</div>
</div>

Mathematik

Inverse mittels Gauß-Jordan-Algorithmus

Inverse mittels Gauß-Jordan-Algorithmus

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