Folgen, Reihen und Potenzreihen

Komplexe Nullstellen

Hauptargument Winkel 

In diesem Kapitel lernst du die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Darüber hinaus werden komplexen Zahlen in Realteil und Imaginärteil getrennt und grafisch dargestellt.

Grundrechenarten

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl

Die Polardarstellung definiert eine komplexe Zahl über einen Betrag und Winkel. In vielen Situationen ist es hilfreich, eine komplexe Zahl in ihre Polardarstellung zu bringen, um z. B. einfacher Potenzen zu berechnen.

Kartesische- und Polarkoordinaten (Euler)

Wertetabelle Sinus, Cosinus, Tangens

Umrechnen zwischen Kartesischen- und Polarkoordinaten

Potenzieren

Potenzieren einer komplexen Zahl

Wurzelziehen (Formel von Moivre)

Wurzelziehen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit $i$ als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-19-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen lösen

Komplexe Mengen bestehen i. d. R. aus komplexen Ungleichungen und Bedingungen, welche sich auch grafischen interpretieren lassen. Zur Verdeutlichung hilft es die Bedingungen zu vereinfachen und auf bekannte geometrische Formen zurückzuführen.

Komplexe Menge

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>Beide Verfahren liefern die gleichen 3 Ergebnisse:</p><p>$z_0=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}$</p><p>$z_1=-1$</p><p>$z_2=\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}$</p>

<p>Beide Verfahren liefern die gleichen 3 Ergebnisse:</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z_0=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.484ex" height="3.246ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1089.5 5959.8 1434.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2605-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 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<p><em>Das erste Lösungsverfahren soll vor allem verdeutlichen warum es sinnvoll bei solchen Fragestellungen wie hier die Formel von Moivre (Lösungsverfahren 2) zu verwenden!</em></p>


<p>1. Lösen durch Ausmultiplizieren und Fallunterscheidungen:</p>


<p>Multipliziere $(a+i \cdot b)^{3}$ aus und sortiere jeweils nach Termen mit und ohne "i":</p>


<p>Multipliziere <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(a+i \cdot b)^{3}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.021ex" height="2.451ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 4429.4 1083.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2590-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2590-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-2590-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-2590-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2590-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-2590-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-2590-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2590-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2590-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-2590-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1140.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2590-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2140.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2590-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2707.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2590-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3207.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-2590-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3636.9, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2590-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2590-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> aus und sortiere jeweils nach Termen mit und ohne "i":</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>&amp;&amp; (a+\mathrm{i} b)^{3}&amp;=\left(a^{2}+2 \mathrm{i} a b-b^{2}\right)(a+\mathrm{i} b) \\</p>
<p>&amp;&amp; &amp;=a^{3}+2 \mathrm{i} a^{2} b-a b^{2}+\mathrm{i} a^{2} b-2 a b^{2}-\mathrm{i} b^{3} \\</p>
<p>&amp;&amp; &amp;=\left(a^{3}-3 a b^{2}\right)+\mathrm{i}\left(3 a^{2} b-b^{3}\right) \\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; -1 &amp;= \left(a^{3}-3 a b^{2}\right)+\mathrm{i}\left(3 a^{2} b-b^{3}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Vergleiche Real- und Imaginärteil beider Seiten der Gleichung (Es entstehen 2 neue Gleichungen):</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\ \ \ \ \ 3 a^{2} b-b^{3}=0 \; \; \ \wedge a^{3}-3 a b^{2}=-1 \\</p>
<p>\Leftrightarrow \left(b=0 \vee 3 a^{2}=b^{2}\right) \wedge a^{3}-3 a b^{2}=-1</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Finde alle 3 Lösungen des gefundenen Gleichungssystems:</p>


<p>$$(a=-1 \wedge b=0) \vee\left(a=\frac{1}{2} \wedge b=\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \vee\left(a=\frac{1}{2} \wedge b=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow z_0&amp;=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\\</p>
<p>z_1&amp;=-1 \\</p>
<p>z_2&amp;=\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne Betrag und Argument von $w$:</p>


<p>Berechne Betrag und Argument von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="w" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.62ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 716 454" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2596-TEX-I-1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2596-TEX-I-1D464"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>r&amp;= \sqrt{(Re(w))^2 + (Im(w))^2} \\</p>
<p>&amp;=1</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\varphi &amp;= \arctan \left(\frac{Im(w)}{Re(w)}\right)+\pi \\</p>
<p>&amp;= \arctan(0) + \pi \\</p>
<p>&amp;= \pi</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Stelle die Lösungsformel auf für $z_k$ auf:</p>


<p>Stelle die Lösungsformel auf für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z_k" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.999ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 883.4 599.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2599-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-2599-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2599-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(465, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-2599-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>z_k=\sqrt[3]{1}\left(\cos \left(\frac{\pi+k \cdot 2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi+k \cdot 2 \pi}{3}\right)\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne die Lösungen für $k=0,1,2$</p>


<p>Berechne die Lösungen für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="k=0,1,2" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.602ex" height="2.009ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4243.9 888" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2601-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-2601-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2601-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-2601-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-2601-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2601-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2601-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(798.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2601-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1854.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2601-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2354.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2601-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2799.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2601-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3299.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2601-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3743.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-2601-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>z_0&amp;=\sqrt[3]{1}\left(\cos \left(\frac{\pi+0 \cdot 2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi+0 \cdot 2 \pi}{3}\right)\right) \\</p>
<p>&amp;= \cos (\pi / 3)+i \sin (\pi / 3) \\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>z_1&amp;=\sqrt[3]{1}\left(\cos \left(\frac{\pi+1 \cdot 2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi+1 \cdot 2 \pi}{3}\right)\right)\\</p>
<p>&amp;=\cos (\pi)+i \sin (\pi) \\</p>
<p>&amp;=-1</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>z_2&amp;=\sqrt[3]{1}\left(\cos \left(\frac{\pi+2 \cdot 2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi+2 \cdot 2 \pi}{3}\right)\right) \\</p>
<p>&amp;=\cos (5 \pi / 3)+\operatorname{isin}(5 \pi / 3) \\</p>
<p>&amp;=\cos (-\pi / 3)+\mathrm{i} \sin (-\pi / 3) \\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bestimme alle komplexen Zahlen der Form $a + i\cdot b$, so dass:</p><p>$$(a+i \cdot b)^{3}=-1$$</p><p>**Hinweis:** In der Musterlösung findest du 2 äquivalente Vorgehen:</p><p>1\) Lösen durch Ausmultiplizieren und Fallunterscheidungen.</p><p>2\) Lösen mit Formel von Moivre.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Wurzelziehen (Formel von Moivre) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Komplexe Zahlen - Wurzelziehen (Formel von Moivre) | Aufgabe mit Lösun


<h2 class="content_sub_heading">Wurzelziehen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)</h2>
<ol>
<li>Definiere $w$ und berechne dessen Betrag $r$ und Argument (Winkel) $\varphi$.<br /><br /></li>
<li>Stelle die passende Lösungsformel auf: \begin{align*}z_k &amp;\ \ = \ \ \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\left(\frac{\varphi+2 k \pi}{n}\right)} \ &amp; \overset{Euler}{=} \sqrt[n]{r} \cdot \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) \right) \end{align*}<br /><br /></li>
<li>Rechne $n$ Lösungen durch Einsetzen von $k=0,1, \ldots, n-1$ aus. $\Rightarrow z_0, z_1, \dots, z_{n-1}$<br /><em>Hinweis: Geometrisch gesehen ergeben die Lösungen ein regelmäßiges $n$-Eck auf einem Kreis vom Radius $\sqrt[n]{r}$.</em></li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: