Folgen, Reihen und Potenzreihen

Komplexe Nullstellen

Hauptargument Winkel 

In diesem Kapitel lernst du die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Darüber hinaus werden komplexen Zahlen in Realteil und Imaginärteil getrennt und grafisch dargestellt.

Grundrechenarten

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl

Die Polardarstellung definiert eine komplexe Zahl über einen Betrag und Winkel. In vielen Situationen ist es hilfreich, eine komplexe Zahl in ihre Polardarstellung zu bringen, um z. B. einfacher Potenzen zu berechnen.

Kartesische- und Polarkoordinaten (Euler)

Wertetabelle Sinus, Cosinus, Tangens

Umrechnen zwischen Kartesischen- und Polarkoordinaten

Potenzieren

Potenzieren einer komplexen Zahl

Wurzelziehen (Formel von Moivre)

Wurzelziehen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit $i$ als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen

Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-19-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können. 

Komplexe Gleichungen lösen

Komplexe Mengen bestehen i. d. R. aus komplexen Ungleichungen und Bedingungen, welche sich auch grafischen interpretieren lassen. Zur Verdeutlichung hilft es die Bedingungen zu vereinfachen und auf bekannte geometrische Formen zurückzuführen.

Komplexe Menge

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Dies ist eine Zusammenfassung der Theorie zu: Potenzieren

Potenzieren einer komplexen Zahl | Theorie Zusammenfassung

<div id=5f08492d727ea527929664d6 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Potenzieren einer komplexen Zahl</h2>
<ol>
<li>Überführe ggf. die zu potenzierende komplexe Zahl aus der kartesischen Darstellung in die Polardarstellung:<br />\begin{align*} \Rightarrow z=r \cdot e^{i \varphi}=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Bestimme die geforderte Potenz der komplexen Zahl. Nutze hierfür:<br />
<ul>
<li>Exponentielle Polardarstellung: <br />\begin{align*}\quad z^{n}=\left(r \cdot e^{i \varphi}\right)^{n}=r^{n} \cdot e^{i n \varphi}\end{align*}</li>
<li>Trigonometrische Polardarstellung (Satz von Moivre): <br />\begin{align*}\quad z^{n}=r^{n}(\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi))\end{align*}</li>
</ul>
</li>
</ol>
</div></div>


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Potenzieren einer komplexen Zahl

Potenzieren einer komplexen Zahl

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