"gemischte Integrale" - eine Möglichkeit zu lernen, wann welche Integralregeln Anwendung finden. Also quasi eine Möglichkeit die Aufgaben von "Partielle Integration", "Integration durch Substitution" und "Integration mittels Partialbruchzerlegung" zufällig zu machen. 

Logarithmische Integration

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Bei dieser Integrationsmethode lernst du, Terme in einem Integral durch andere zu ersetzen (Substitution) und so eine schwierige Aufgabe lösbar zu machen.

Integrieren durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Partialbruchzerlegung kommt insbesondere bei der Integration von rationalen Funktionen zur Anwendung. Man "zerlegt" das vorlegende Integral in einfache Teilbrüche und kann anschließend mit bekannten Integrationsmitteln weiter machen.

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Integration durch Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

$$\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}-1\right) d x=-6$$

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}-1\right) d x=-6" style="vertical-align: -2.063ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.466ex" height="5.59ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1559 11698.2 2470.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-107-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-107-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 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Es gilt:
\[\begin{align*}\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}-1\right) d x=\int_{0}^{2} x^{3} d x-\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x-\int_{0}^{2} 1 d x\end{align*}\]

Es gilt:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}-1\right) d x=\int_{0}^{2} x^{3} d x-\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x-\int_{0}^{2} 1 d x\end{align*}" style="vertical-align: -2.23ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="54.317ex" height="5.59ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1485.5 24008 2470.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-105-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-105-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-105-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-105-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 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347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-105-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-105-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-105-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 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153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-73.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 1)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-105-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1046.4,1088.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(589,-896.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1616.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-105-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1688.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2689,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3189,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4419.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5420,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5920,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-105-TEX-SO-29"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7994.6,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8514.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9364.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(10420.2,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 1)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-105-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1046.4,1088.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(589,-896.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(12036.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(13045.3,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(13565.3,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14359.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(15359.8,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 1)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-105-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1046.4,1088.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(589,-896.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(16976.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(17476.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(18485,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(19005,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(19799.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(20799.4,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 1)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-105-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1046.4,1088.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(589,-896.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(22416,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(22916,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(23436,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Integriere, setze die Grenzen ein und rechne aus:

\[\begin{align*}\quad
\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}-1\right) d x&amp;=\frac{1}{4} x^{4}\bigg|_{0} ^{2}-x^{3}\bigg|_{0} ^{2}-x\bigg|_{0} ^{2}\\\\
&amp;=\frac{1}{4} \cdot 2^{4}-\frac{1}{4} \cdot 0^{4}-\left(2^{3}-0^{3}\right)-(2-0)\\\\
&amp;=-6
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}\quad
\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}-1\right) d x&=\frac{1}{4} x^{4}\bigg|_{0} ^{2}-x^{3}\bigg|_{0} ^{2}-x\bigg|_{0} ^{2}\\\\
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Berechne das bestimmte Integral:
$$\int_{0}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}-1\right) d x$$

Berechne das bestimmte Integral:
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Einfache Integrale mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Integrieren - Einfache Integrale | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: