2x2 Matrix

Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Determinantenberechnung mit Gauß'schem Eliminationsverfahren

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Regel von Sarrus (3x3)

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

\begin{align*}
\det(A)=0
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\det(A)=0
\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.748ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4750.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4713-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-4713-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-4713-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path><path id="MJX-4713-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-4713-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-4713-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-4713-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-4713-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4713-TEX-N-64"></use><use xlink:href="#MJX-4713-TEX-N-65" transform="translate(556, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-4713-TEX-N-74" transform="translate(1000, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1389, 0)"><use xlink:href="#MJX-4713-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4713-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2528, 0)"><use xlink:href="#MJX-4713-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3194.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-4713-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4250.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4713-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Entwickle zum Beispiel nach der ersten Zeile

\begin{align*}
\det(A)&amp;=1 \cdot \det\left(\begin{array}{cc}
2 &amp; 1 \\
2 &amp; -1
\end{array}\right)-2 \cdot \det\left(\begin{array}{cc}
3 &amp; 2 \\
4 &amp; 2
\end{array}\right)\\&amp;=-4-2 \cdot(-2)
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\det(A)&=1 \cdot \det\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
2 & -1
\end{array}\right)-2 \cdot \det\left(\begin{array}{cc}
3 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right)\\&=-4-2 \cdot(-2)
\end{align*}" style="vertical-align: -3.62ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="41.669ex" height="8.371ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2100 18417.9 3700" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4712-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-4712-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 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Berechne mit dem Entwicklungssatz die Determinante der folgenden Matrix:

\begin{align*}
A:=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 0 &amp; -2 \\
3 &amp; 2 &amp; 1 \\ 
4 &amp; 2 &amp; -1
\end{array}\right) 
\end{align*}

Berechne mit dem Entwicklungssatz die Determinante der folgenden Matrix:

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
A:=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -2 \\
3 & 2 & 1 \\ 
4 & 2 & -1
\end{array}\right) 
\end{align*}" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.981ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 8389.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4711-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-4711-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 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578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-4711-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-4711-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-4711-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-4711-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 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0.924)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3000, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-34"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3000, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-N-31"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5153, 0)"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-4711-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Der Laplace'sche Entwicklungssatz mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Determinanten bestimmen - Der Laplace'sche Entwicklungssatz | Aufgabe 

<h2 class="content_sub_heading">Laplae´scher Entwicklungssatz  (n x n-Determinante)</h2>
<ol>
<li>Wähle eine beliebige Zeile oder Spalte aus, nach welcher du entwickeln willst. Aus deiner Wahl ergibt sich z.B. einer der folgenden Startpunkte (rot):
 \begin{align*}\quad \left[\begin{array}{cccc}
\color{#DC6955}{a_{1,1}} &amp; \color{#DC6955}{a_{1,2}} &amp; \dots &amp; \color{#DC6955}{a_{1, n}} \\
\color{#DC6955}{a_{2,1}} &amp; a_{2,2} &amp; \dots &amp; a_{2, n} \\
\vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
\color{#DC6955}{a_{n, 1}} &amp; a_{n, 2} &amp; \dots &amp; a_{n, n}
\end{array}\right]\end{align*}
 Es bietet sich an, die Zeile/Spalte mit den meisten Nulleinträgen zu nutzen. </li>
<li>Schreibe deinen Startpunkt (z.B. $\color{#DC6955}{a_{1 ,2}}$) als Faktor auf. Multipliziere ihn anschließend mit der Determinante der Matrix die entsteht, wenn du die gesamte Zeile und Spalte (in welcher dein Startterm liegt) streichst. Abhängig von der Lage deines Terms musst du ggf. noch mit $(-1)$ multiplizieren. Ob dies der Fall ist kannst du mit folgendem (Schachbrett-) Muster prüfen: \begin{align*} \quad \left[\begin{array}{ccccc}+&amp; \color{#DC6955}{-} &amp; + &amp; \ldots \\\color{#DC6955}{-}&amp; + &amp; \color{#DC6955}{-} &amp; \ldots \\+&amp; \color{#DC6955}{-} &amp; + &amp;\ldots \\ \vdots &amp; \vdots &amp;\vdots &amp; \ddots\end{array}\right]\end{align*} </li>
<li>Wiederhole den unter 2. erklärten Schritt für jeden Eintrag in der gewählten Zeile/Spalte und addiere die Ergebnisse. Arbeite von links nach rechts (Entwicklung nach Zeile) bzw. oben nach unten (Entwicklung nach Spalte). Beispiel: (Entwicklung nach der ersten Zeile):
 \begin{align*}
\quad \det\left(
\begin{array}{lll}
\color{#5FAFD2}{1} &amp; \color{#AAC869}{2} &amp; \color{#E6C84B}{3} \\
4 &amp; 5 &amp; 6 \\
7 &amp; 8 &amp; 9
\end{array}
\right)
=&amp; \color{#5FAFD2}{1} \color{#000} \cdot
\det\left(
\begin{array}{ll}
5 &amp; 6 \\
8 &amp; 9
\end{array}
\right)
+\color{#DC6955}{(-1)} \color{#000} \cdot \color{#AAC869}{2} \color{#000} \cdot
\det\left(
\begin{array}{ll}
4 &amp; 6 \\
7 &amp; 9
\end{array}
\right)
+\color{#E6C84B}{3} \color{#000} \cdot
\det\left(
\begin{array}{ll}
4 &amp; 5 \\
7 &amp; 8
\end{array}
\right)
\\=&amp;1 \cdot(-3)-2 \cdot(-6)+3 \cdot(-3) \\
=&amp;0
\end{align*}
</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: