2x2 Matrix

Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Determinantenberechnung mit Gauß'schem Eliminationsverfahren

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Regel von Sarrus (3x3)

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

\begin{align*}
\det
\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 9 &amp; 9 \\
i &amp; 2 &amp; 9 \\
i &amp; i &amp; 3
\end{array}\right)
=-3+27 i
\end{align*}

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\det
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 9 & 9 \\
i & 2 & 9 \\
i & i & 3
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=-3+27 i
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width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-4661-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6916.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-4661-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7972.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4661-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(8750.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4661-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9472.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-4661-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10473, 0)"><use xlink:href="#MJX-4661-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-4661-TEX-N-37" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(11473, 0)"><use xlink:href="#MJX-4661-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Entwickle $A$ beispielsweise nach der ersten Zeile.

Entwickle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4658-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4658-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> beispielsweise nach der ersten Zeile.

\begin{align*}
\det
\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 9 &amp; 9 \\
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i &amp; i &amp; 3
\end{array}\right)=&amp;(-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \det
\left(
\begin{array}{ll}
2 &amp; 9 \\
i &amp; 3
\end{array}
\right)+(-1)^{1+2}\cdot 9 \cdot\det
\left(\begin{array}{cc}
i &amp; 9 \\
i &amp; 3
\end{array}\right)\\
&amp;+(-1)^{1+3} \cdot 9 \cdot\det
\left(\begin{array}{cc}
i &amp; 2 \\
i &amp; i
\end{array}\right)
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\det
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 9 & 9 \\
i & 2 & 9 \\
i & i & 3
\end{array}\right)=&(-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \det
\left(
\begin{array}{ll}
2 & 9 \\
i & 3
\end{array}
\right)+(-1)^{1+2}\cdot 9 \cdot\det
\left(\begin{array}{cc}
i & 9 \\
i & 3
\end{array}\right)\\
&+(-1)^{1+3} \cdot 9 \cdot\det
\left(\begin{array}{cc}
i & 2 \\
i & i
\end{array}\right)
\end{align*}" style="vertical-align: -6.787ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="65.838ex" height="14.706ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3500 29100.5 6500" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4659-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-4659-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-4659-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path><path id="MJX-4659-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-4659-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-4659-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-4659-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-4659-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 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Berechne durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte die Determinanten der folgenden komplexwertigen Matrix:

\begin{align*}
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 &amp; 9 &amp; 9 \\
i &amp; 2 &amp; 9 \\
i &amp; i &amp; 3
\end{array}\right)
\end{align*}

Berechne durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte die Determinanten der folgenden komplexwertigen Matrix:

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 9 & 9 \\
i & 2 & 9 \\
i & i & 3
\end{array}\right)
\end{align*}" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.592ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 7333.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4657-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-4657-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path 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617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-4657-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path><path id="MJX-4657-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 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347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-4657-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-4657-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-4657-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 -9T554 -10T520 -10Q466 -10 463 -9Q460 -8 459 -5Q457 5 457 127V300Q457 602 458 605L462 609Q464 610 532 610Q548 610 558 610T573 610T578 609Q582 609 582 592T583 473V127Q583 -9 579 -9Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2083.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" 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data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(77.5, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-I-1D456"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1577.5, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-I-1D456"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3000, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4375, 0)"><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-4657-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Der Laplace'sche Entwicklungssatz mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Determinanten bestimmen - Der Laplace'sche Entwicklungssatz | Aufgabe 

<h2 class="content_sub_heading">Laplae´scher Entwicklungssatz  (n x n-Determinante)</h2>
<ol>
<li>Wähle eine beliebige Zeile oder Spalte aus, nach welcher du entwickeln willst. Aus deiner Wahl ergibt sich z.B. einer der folgenden Startpunkte (rot):
 \begin{align*}\quad \left[\begin{array}{cccc}
\color{#DC6955}{a_{1,1}} &amp; \color{#DC6955}{a_{1,2}} &amp; \dots &amp; \color{#DC6955}{a_{1, n}} \\
\color{#DC6955}{a_{2,1}} &amp; a_{2,2} &amp; \dots &amp; a_{2, n} \\
\vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
\color{#DC6955}{a_{n, 1}} &amp; a_{n, 2} &amp; \dots &amp; a_{n, n}
\end{array}\right]\end{align*}
 Es bietet sich an, die Zeile/Spalte mit den meisten Nulleinträgen zu nutzen. </li>
<li>Schreibe deinen Startpunkt (z.B. $\color{#DC6955}{a_{1 ,2}}$) als Faktor auf. Multipliziere ihn anschließend mit der Determinante der Matrix die entsteht, wenn du die gesamte Zeile und Spalte (in welcher dein Startterm liegt) streichst. Abhängig von der Lage deines Terms musst du ggf. noch mit $(-1)$ multiplizieren. Ob dies der Fall ist kannst du mit folgendem (Schachbrett-) Muster prüfen: \begin{align*} \quad \left[\begin{array}{ccccc}+&amp; \color{#DC6955}{-} &amp; + &amp; \ldots \\\color{#DC6955}{-}&amp; + &amp; \color{#DC6955}{-} &amp; \ldots \\+&amp; \color{#DC6955}{-} &amp; + &amp;\ldots \\ \vdots &amp; \vdots &amp;\vdots &amp; \ddots\end{array}\right]\end{align*} </li>
<li>Wiederhole den unter 2. erklärten Schritt für jeden Eintrag in der gewählten Zeile/Spalte und addiere die Ergebnisse. Arbeite von links nach rechts (Entwicklung nach Zeile) bzw. oben nach unten (Entwicklung nach Spalte). Beispiel: (Entwicklung nach der ersten Zeile):
 \begin{align*}
\quad \det\left(
\begin{array}{lll}
\color{#5FAFD2}{1} &amp; \color{#AAC869}{2} &amp; \color{#E6C84B}{3} \\
4 &amp; 5 &amp; 6 \\
7 &amp; 8 &amp; 9
\end{array}
\right)
=&amp; \color{#5FAFD2}{1} \color{#000} \cdot
\det\left(
\begin{array}{ll}
5 &amp; 6 \\
8 &amp; 9
\end{array}
\right)
+\color{#DC6955}{(-1)} \color{#000} \cdot \color{#AAC869}{2} \color{#000} \cdot
\det\left(
\begin{array}{ll}
4 &amp; 6 \\
7 &amp; 9
\end{array}
\right)
+\color{#E6C84B}{3} \color{#000} \cdot
\det\left(
\begin{array}{ll}
4 &amp; 5 \\
7 &amp; 8
\end{array}
\right)
\\=&amp;1 \cdot(-3)-2 \cdot(-6)+3 \cdot(-3) \\
=&amp;0
\end{align*}
</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: