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Aufgabenstellung:

Gegeben sei

  1. Zeige: existiert zu die Umkehrfunktion
  2. Berechne (setze dazu ).

Lösungsweg:

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a) Existenz der Umkehrfunktion:

Nach dem Satz der Umkehrfunktionen ist jede streng monotone Funktion auch umkehrbar.

Untersuche die Ableitung:

ist also streng monoton steigend.

ist stetig als Komposition stetiger Einzelfunktionen. Somit besitzt eine Umkehrfunktion.

b)

Wert von ohne explizite Angabe der Umkehrfunktion.

Setze in ein:

Damit gilt also für die Umkehrfunktion :

Wert von ohne explizite Angabe der Ableitung der Umkehrfunktion.

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt mit und :

Lösung:

  1. besitzt eine Umkehrfunktion, da streng monoton steigend und stetig.