Funktionen bestimmen

Hoch- und Tiefpunkte sind bei der Betrachtung von Funktionen wichtige Bestandteile und finden auch bei reellen Problemen eine Anwendung. Wenn z. B. die Temperaturkurve eines Jahres aufgezeichnet wird, so kann mit Hilfe von Hoch- und Tiefpunkt der jeweils heißesten bzw. kältesten Tag ermittelt werden.

Lokale und global Extrema

Lokale und globale Extrema

Finden der Maxima

Der Wendepunkt spiegelt den Punkt wieder, an welchem eine Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert. Zum Beispiel könnte der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergehen.

Wendepunkte bestimmen

In welchen Bereichen die Steigung einer Funktion zu- (Linkskurve) bzw. abnimmt (Rechtskurve), ist für viele mathematische Untersuchungen von hoher Relevanz. Hier lernst du diese Bereiche zu finden und zu interpretieren.

Konvexität und Konkavität

Krümmungsverhalten untersuchen

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>$f$ besitzt bei $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ein Maximum mit $f(\frac{1}{\sqrt{3}})=-\sqrt{3}$</p>

<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-17-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-17-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besitzt bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\frac{1}{\sqrt{3}}" style="vertical-align: -1.334ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.16ex" height="3.291ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 1396.7 1454.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-18-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(521.6,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(220,-511) scale(0.707)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,71.4)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="42.4" x="853" y="829"></rect></g><rect width="1156.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> ein Maximum mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(\frac{1}{\sqrt{3}})=-\sqrt{3}" style="vertical-align: -1.334ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.003ex" height="3.481ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -949 6189.3 1538.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-19-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(939,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(521.6,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(220,-511) scale(0.707)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,71.4)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="42.4" x="853" y="829"></rect></g><rect width="1156.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2335.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3002.5,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4058.3,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(4836.3,0)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,89)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="60" x="853" y="829"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bilde die ersten beiden Ableitungen von $f$:</p>


<p>Bilde die ersten beiden Ableitungen von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f^{\prime}(x)&amp;=1-\frac{2}{2 \sqrt{x^{2}+1}} \cdot 2 x \\\\</p>
<p>\phantom{f^{\prime}(x)}&amp;=1-\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f^{\prime \prime}(x)&amp;=\frac{-2 \sqrt{x^{2}+1}+2 x \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\phantom{f^{\prime \prime}(x)}&amp;=\frac{-2\left(x^{2}+1\right)+2 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}} \\\\</p>
<p>&amp;=-\frac{2}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Setze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f^{\prime}(x)=0" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.195ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 4064 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-7-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-7-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(636,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-7-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(880.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1269.5,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1841.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2508.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3564,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>&amp;&amp;f^{\prime}(x)&amp;=0 \\\\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; \sqrt{x^{2}+1}-2 x&amp;=0\\\\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; \sqrt{x^{2}+1}&amp;=2 x\\\\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; x^{2}+1&amp;=4 x^{2} \wedge \quad x \geq 0\\\\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; 3 x^{2}&amp;=1 \quad \wedge \quad x \geq 0\\\\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; x&amp;=\frac{1}{\sqrt{3}}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Prüfe die Art des Extremwerts. Setze den gefundenen Wert in $f^{\prime \prime}(x)$ ein:</p>


<p>Prüfe die Art des Extremwerts. Setze den gefundenen Wert in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f^{\prime \prime}(x)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.486ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 2424.9 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-9-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(636,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-9-TEX-V-2032"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(275,0)"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-9-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1074.9,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1463.9,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2035.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f^{\prime \prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)&amp;=-\frac{2}{\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{2}}}&amp;lt;0</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Berechne welchen Wert $f$ an der gefundenen Stelle annimmt:</p>


<p>Berechne welchen Wert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-11-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> an der gefundenen Stelle annimmt:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)&amp;=\frac{1}{\sqrt{3}}-2 \sqrt{\frac{4}{3}} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{4}{\sqrt{3}} \\\\</p>
<p>&amp;=-\frac{3}{\sqrt{3}} \\\\</p>
<p>&amp;=-\sqrt{3}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Untersuche die Randwerte durch Grenzwertberechnung:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) &amp;= -\infty \\\\</p>
<p>\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) &amp;= -\infty</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Treffe eine finale Aussage über die gefundenen Extrema:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besitzt bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\frac{1}{\sqrt{3}}" style="vertical-align: -1.334ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.16ex" height="3.291ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 1396.7 1454.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-15-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 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transform="translate(521.6,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(220,-511) scale(0.707)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,71.4)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="42.4" x="853" y="829"></rect></g><rect width="1156.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> ein Maximum mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(\frac{1}{\sqrt{3}})=-\sqrt{3}" style="vertical-align: -1.334ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.003ex" height="3.481ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -949 6189.3 1538.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-16-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 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transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(939,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(521.6,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(220,-511) scale(0.707)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,71.4)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="42.4" x="853" y="829"></rect></g><rect width="1156.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2335.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3002.5,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4058.3,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(4836.3,0)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,89)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="60" x="853" y="829"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimme für die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[\begin{align*}f(x)&amp;=x-2 \sqrt{x^{2}+1}\end{align*}\]</p>
<p>alle lokalen und globalen Extremstellen.</p>

<p>Bestimme für die Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.917ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 4383.1 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-1-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(827.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1383.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-1-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2383.3,0)"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3661.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-1-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}f(x)&=x-2 \sqrt{x^{2}+1}\end{align*}" style="vertical-align: -0.978ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.993ex" height="3.086ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -932.1 9279 1364.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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<p>alle lokalen und globalen Extremstellen.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Lokale und global Extrema mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: