Wenn eine Funktion wiederum von einer Funktion abhängt, so spricht man von einer verketteten Funktion. Zum Ableiten solltest du in diesem Fall die Kettenregel verwenden.

Kettenregel

Funktionen, die aus einem Produkt zweier Teilfunktionen bestehen, kannst du mit der Produktregel ableiten.

Produktregel

Liegt eine gebrochenrationale Funktion vor, so wird die Quotientenregel zum Ableiten genutzt.

Quotientenregel

Hier lernst du, wie du unterschiedlichste Ableitungsregeln kombiniert anwendest. Das ist wichtig, da Funktionen oft aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sind.

Gemischte Regeln

Ableitungsregeln (Übersicht)

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

\[\begin{align*}
f^{\prime}(x)=-1-\frac{1}{(\tan (x))^{2}}
\end{align*}\]

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f^{\prime}(x)=-1-\frac{1}{(\tan (x))^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.787ex" height="5.231ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1406 10514 2311.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-29-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-29-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 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Mit $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ gilt:

Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}" style="vertical-align: -1.238ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.636ex" height="3.607ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1047.1 6469.3 1594.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-25-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path><path id="MJX-25-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 58T428 40Q443 40 448 56T453 109V145H493V106Q492 66 490 59Q481 29 455 12T400 -6T353 12T329 54V58L327 55Q325 52 322 49T314 40T302 29T287 17T269 6T247 -2T221 -8T190 -11Q130 -11 82 20T34 107Q34 128 41 147T68 188T116 225T194 253T304 268H318V290Q318 324 312 340Q290 411 215 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\[\begin{align*}
f(x) &amp;=\frac{1}{\tan (x)} \\\\
&amp;=\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \\\\
&amp;=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f(x) &=\frac{1}{\tan (x)} \\\\
&=\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \\\\
&=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}
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xlink:href="#MJX-26-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1338,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1727,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-26-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2299,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(275,-710)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1617,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-26-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2189,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-29"></use></g></g><rect width="2888" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Wende die Quotientenregel an und vereinfache:

\[\begin{align*}
f^{\prime}(x)&amp;=\frac{-\sin (x) \cdot \sin (x)-\cos (x) \cdot \cos (x)}{(\sin (x))^{2}}
\end{align*}\]

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f^{\prime}(x)&=\frac{-\sin (x) \cdot \sin (x)-\cos (x) \cdot \cos (x)}{(\sin (x))^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.183ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="41.059ex" height="5.498ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1465 18148 2429.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-27-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-27-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 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404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 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data-mml-node="mi" transform="translate(13183,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-27-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13755,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(5395.7,-719.9)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1617,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1617,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2006,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-27-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2578,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2967,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="14344" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

\[\begin{align*}
\phantom{f^{\prime}(x)} &amp;=\frac{-(\sin (x))^{2}-(\cos (x))^{2}}{(\sin (x))^{2}} \\\\
&amp;=\frac{-(\sin (x))^{2}}{(\sin (x))^{2}}-\frac{(\cos (x))^{2}}{(\sin (x))^{2}} \\\\
&amp;=-1-\left(\frac{\cos (x)}{\sin (x)}\right)^{2} \\\\
&amp;=-1 -\left(\frac{1}{\tan (x)}\right)^{2} \\\\
&amp;=-1-\frac{1}{(\tan (x))^{2}}
\end{align*}\]

Bilde die Ableitung der folgenden Funktion mittels Quotientenregel:
\[\begin{align*}
f(x)=\frac{1}{\tan (x)}
\end{align*}\]

Bilde die Ableitung der folgenden Funktion mittels Quotientenregel:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f(x)=\frac{1}{\tan (x)}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.038ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.635ex" height="5.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1401 6468.6 2302" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-24-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-24-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Quotientenregel mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Differenzieren (Ableiten) - Quotientenregel | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: