Wenn eine Funktion wiederum von einer Funktion abhängt, so spricht man von einer verketteten Funktion. Zum Ableiten solltest du in diesem Fall die Kettenregel verwenden.

Kettenregel

Funktionen, die aus einem Produkt zweier Teilfunktionen bestehen, kannst du mit der Produktregel ableiten.

Produktregel

Liegt eine gebrochenrationale Funktion vor, so wird die Quotientenregel zum Ableiten genutzt.

Quotientenregel

Hier lernst du, wie du unterschiedlichste Ableitungsregeln kombiniert anwendest. Das ist wichtig, da Funktionen oft aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sind.

Gemischte Regeln

Ableitungsregeln (Übersicht)

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

\[\begin{align*}
f^{\prime}(x)&amp;=\frac{x \cdot \cos x-\sin x}{x^{2}}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f^{\prime}(x)&=\frac{x \cdot \cos x-\sin x}{x^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.783ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.901ex" height="4.697ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1288 10564.2 2075.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-23-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-23-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 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404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 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385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-57)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-23-TEX-I-1D453"></use></g><g 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xlink:href="#MJX-23-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1294.4,0)"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2632.4,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2799.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-23-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3593.3,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4593.6,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5821.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5988.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-23-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2995.8,-719.9)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-23-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-32"></use></g></g></g><rect width="6760.2" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Forme um, sodass die Produktregel anwendbar ist:

\[\begin{aligned}
f(x) &amp;=\frac{\sin x}{x} \\\\
&amp;=\sin x \cdot \frac{1}{x} \\\\
&amp;=\sin x \cdot x^{-1}
\end{aligned}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{aligned}
f(x) &=\frac{\sin x}{x} \\\\
&=\sin x \cdot \frac{1}{x} \\\\
&=\sin x \cdot x^{-1}
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Nutze die Produktregel und vereinfache:

\[\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &amp;=\cos x \cdot x^{-1}+\sin x \cdot(-1) \cdot x^{-2} \\\\
&amp;=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^{2}}
\end{aligned}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &=\cos x \cdot x^{-1}+\sin x \cdot(-1) \cdot x^{-2} \\\\
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transform="translate(0,-161.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2202.5,0)"></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-2056.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2202.5,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2202.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,676)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(794.2,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1294.4,0)"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2632.4,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2799.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3593.3,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4593.6,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5821.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5988.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2995.8,-719.9)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" 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Leite die folgende Funktion mit Hilfe der Produktregel ab:
\[\begin{align*}
f(x)=\frac{\sin (x)}{x}
\end{align*}\]

Leite die folgende Funktion mit Hilfe der Produktregel ab:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f(x)=\frac{\sin (x)}{x}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.874ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.144ex" height="4.88ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1328.5 6251.6 2157" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Produktregel mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Differenzieren (Ableiten) - Produktregel | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Produktregel</h2>
Wenn deine Funktion aus einem Produkt von Teilfunktionen besteht $f(x)=u(x) \cdot v(x),$ so gehe zum Ableiten wie folgt vor:
<ol>
<li>Identifiziere $u(x)$ und $v(x)$</li>
<li>
Berechne $u^{\prime}(x)$ und $v^{\prime}(x)$ indem du $u(x)$ und $v(x)$ einzeln ableitest.
</li>
<li>
Setze deine Ergebnisse in die Formel für die Produktregel ein: $$f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$
</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: