Cauchy-Produktformel

Cauchy Verdichtungssatz 

Exponentialreihe

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Das Quotientenkriterium eignet sich besonders bei der Untersuchung von Reihen, welche vorwiegend aus Produkten/Quotienten von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Exponentialfunktionen bestehen.

Quotientenkriterium

Tipps zur Grenzwertberechnung

Das Wurzelkriterium eignet sich besonders zur Untersuchung von Reihen mit der Gestalt: $(\ldots)^n$

Wurzelkriterium

Das Wurzelkriterium eignet sich besonders zur Untersuchung von Reihen mit der Gestalt: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(\ldots)^n" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.485ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2424.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-12-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-12-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1561, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-12-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Das Majorantenkriterium und das Minorantenkriterium sind vor allem dann sinnvoll, wenn $a_n$ aus Therme wie $cos(n), \cos\left(\frac{1}{n}\right), \sin (n)$ besteht oder Summanden enthält. Die Anwendung beider Kriterien erfolgen über Abschätzungen.

Majo- und Minorantenkriterium

Das Majorantenkriterium und das Minorantenkriterium sind vor allem dann sinnvoll, wenn <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_n" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.27ex" height="1.355ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 1003.3 598.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-13-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-13-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> aus Therme wie <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="cos(n), \cos\left(\frac{1}{n}\right), \sin (n)" style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.596ex" height="2.755ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 9545.3 1217.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-14-TEX-I-1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path><path id="MJX-14-TEX-I-1D460" 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transform="translate(6939.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-14-TEX-N-73"></use><use xlink:href="#MJX-14-TEX-N-69" transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-14-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8167.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-14-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8167.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8556.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9156.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besteht oder Summanden enthält. Die Anwendung beider Kriterien erfolgen über Abschätzungen.

Majoranten- und Minorantenkriterium

Das Leibnizkriterium wird für die Konvergenzuntersuchung von alternierenden Reihen genutzt, also wenn $a_n$ ein Vorzeichen wechselndes Element besitzt.

Leibnizkriterium

Das Leibnizkriterium wird für die Konvergenzuntersuchung von alternierenden Reihen genutzt, also wenn <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_n" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.27ex" height="1.355ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 1003.3 598.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-15-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-15-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> ein Vorzeichen wechselndes Element besitzt.

Leibniz-Kriterium

Die geometrische Reihe wird oft als Vergleichsreihe genutzt, mit welcher man klare Aussagen über die Konvergenz/Divergenz treffen kann. Im Falle der Konvergenz kann mit ihr auch der Wert einer Reihe berechnet werden.

Geometrische Reihe

Bei einer Teleskopreihe heben sich bestimmte Reihenglieder gegeneinander auf, während andere bestehen bleiben. Aufgrund dieser Eigenschaft ist es möglich, den Wert zu berechnen und damit die Konvergenz nachzuweisen.

Teleskopreihe

Partialbruchzerlegung

Teleskopsumme und Teleskopreihe

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<p>Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium, da $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|&amp;lt;1$</p>

<p>Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium, da <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|<1" style="vertical-align: -1.033ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.116ex" height="3.197ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -956.6 7565.4 1413.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-641-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-641-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 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scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-641-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><rect width="1548.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2121.4, 0)"><svg width="278" height="1413.1" y="-456.6" x="27.5" viewBox="0 -175.1 278 1413.1"><use xlink:href="#MJX-641-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.122)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6009.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-641-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7065.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-641-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bilde zunächst $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$:</p>


<p>Bilde zunächst <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|" style="vertical-align: -1.033ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.553ex" height="3.197ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -956.6 2454.4 1413.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-635-TEX-S4-2223" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-635-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-635-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-635-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-635-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><svg width="278" height="1413.1" y="-456.6" x="27.5" viewBox="0 -175.1 278 1413.1"><use xlink:href="#MJX-635-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.122)"></use></svg></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(333, 0)"><g data-mml-node="msub" transform="translate(220, 487.1) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-635-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-635-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-635-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1378, 0)"><use xlink:href="#MJX-635-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(539.5, -345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-635-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-635-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><rect width="1548.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2121.4, 0)"><svg width="278" height="1413.1" y="-456.6" x="27.5" viewBox="0 -175.1 278 1413.1"><use xlink:href="#MJX-635-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.122)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| &amp;=\left|\frac{\frac{(n+1) !}{(n+1)^{n+1} \cdot(n+1)}}{\frac{n !}{n^{n} \cdot n}}\right| \\ </p>
<p>&amp;=\frac{(n+1) ! \cdot n^{n} \cdot n}{n ! \cdot(n+1)^{n+1} \cdot(n+1)} \\</p>
<p>&amp;=\frac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \\</p>
<p>&amp;=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne nun den Grenzwert $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$:</p>


<p>Berechne nun den Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|" style="vertical-align: -1.033ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.968ex" height="3.197ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -956.6 5731.9 1413.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-637-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-637-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-637-TEX-N-6D" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q351 442 364 440T387 434T406 426T421 417T432 406T441 395T448 384T452 374T455 366L457 361L460 365Q463 369 466 373T475 384T488 397T503 410T523 422T546 432T572 439T603 442Q729 442 740 329Q741 322 741 190V104Q741 66 743 59T754 49Q775 46 803 46H819V0H811L788 1Q764 2 737 2T699 3Q596 3 587 0H579V46H595Q656 46 656 62Q657 64 657 200Q656 335 655 343Q649 371 635 385T611 402T585 404Q540 404 506 370Q479 343 472 315T464 232V168V108Q464 78 465 68T468 55T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-637-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-637-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-637-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-637-TEX-S4-2223" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-637-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 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stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munder"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-637-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-637-TEX-N-69" transform="translate(278, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-637-TEX-N-6D" transform="translate(556, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1389, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-637-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-637-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1600, 0)"><use xlink:href="#MJX-637-TEX-N-221E"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3277.5, 0)"><g data-mml-node="mo"><svg width="278" height="1413.1" y="-456.6" x="27.5" viewBox="0 -175.1 278 1413.1"><use xlink:href="#MJX-637-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.122)"></use></svg></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(333, 0)"><g 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<p>\begin{align*}</p>
<p>\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| &amp; =\lim _{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\\</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Nutze: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}$</p>


<p>Nutze: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}" style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.889ex" height="2.81ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -889.1 9675.1 1241.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-639-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-639-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 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<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}} \\</p>
<p>&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{e} \cdot 1 &amp;lt; 1 \ \ \ \checkmark</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Interpretiere den gefundenen Grenzwert</p>

<p>Prüfe die folgende Reihe auf Konvergenz:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n} \cdot n}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Prüfe die folgende Reihe auf Konvergenz:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n} \cdot n}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.611ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.062ex" height="6.354ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1654.2 4447.4 2808.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-634-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-634-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-634-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-634-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-634-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-634-TEX-N-21" d="M78 661Q78 682 96 699T138 716T180 700T199 661Q199 654 179 432T158 206Q156 198 139 198Q121 198 119 206Q118 209 98 431T78 661ZM79 61Q79 89 97 105T141 121Q164 119 181 104T198 61Q198 31 181 16T139 1Q114 1 97 16T79 61Z"></path><path id="MJX-634-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 91.7)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(58, -1087.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1378, 0)"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(368.4, 1150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-N-221E"></use></g></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1610.7, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(979.4, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-N-21"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1296.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1796.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-634-TEX-I-1D45B"></use></g></g><rect width="2596.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Quotientenkriterium mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Reihen untersuchen  - Quotientenkriterium | Aufgabe mit Lösung

Mit dem Quotientenkriterium untersuchst du direkt die <strong>absolute Konvergenz </strong>einer Reihe, aus der die "normale" Konvergenz folgt.


<h2 class="content_sub_heading">Quotientenkriterium</h2>
<ol>
<li>Bringe die Reihe in die Form: $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$
<p> </p>
</li>
<li>Bilde $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$, löse den Betrag auf und vereinfache.<br /><br /></li>
<li>
<p>Berechne den Grenzwert $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ und interpretiere:<br /><br /></p>
<p>$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\left\{\begin{array}{ll}{&amp;lt;1} &amp; {\text { Die Reihe konvergiert }} \\ {=1} &amp; {\text { Keine Aussage treffbar}} \\ {&amp;gt;1} &amp; {\text { Die Reihe divergiert }}\end{array}\right.$$</p>
</li>
</ol>


<p>Falls ein Bruch $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ von der Form $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ oder $\left(\frac{0}{0}\right)$ vorliegt:</p>
<ul>
<li>Finde die größte Potenz von $n$ im Nenner und klammere diese in Zähler und Nenner aus. Kürze anschließend und schaue wo Nullfolgen entstanden sind.</li>
</ul>
<p>Falls $a_{n}-b_{n}$ von der Form $(\infty-\infty)$:</p>
<ul>
<li>Nutze zunächst die Umformung $a-b=\frac{(a-b) \cdot(a+b)}{a+b}=\frac{a^{2} b^{2}}{a+b}$ um die Form $\frac{\infty}{\infty}$ zu erhalten. Nun kannst du obigen Tipp verwenden.</li>
</ul>
<p>Falls $a_{n}$ von der Form $\left(1^{\infty}\right)$:</p>
<ul>
<li>Bringe den Ausdruck auf die Form $\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$ und nutze anschließend, dass gilt $\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}$</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Auswahl des richtigen Konvergenzkriteriums</h2>
<ol>
<li><strong>Quotientenkriterium:<br /></strong>Geeignet wenn $a_{n}$ vorwiegend aus Produkten/Quotienten von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Exponentialfunktionen besteht.<br /><br /></li>
<li><strong>Wurzelkriterium:<br /></strong>Besonders geeignet wenn $a_{n}$ die Gestalt $(\ldots)^{n}$ hat.<br /><br /></li>
<li><strong>Majoranten-/Minorantenkriterium:<br /></strong>Sinnvoll wenn $a_{n}$ Terme wie $\cos (n), \cos \left(\frac{1}{n}\right), \sin (n)$ enthält oder aus Summanden besteht. z. B. $12+n^{3}+\sqrt{4 n}$<br /><br /></li>
<li><strong>Leibnizkriterium:<br /></strong>Zu verwenden wenn $a_{n}$ alternierendes (Vorzeichen wechselndes) Element besitzt: $(-1)^{n}$<br /><br /></li>
<li><strong>Notwendiges Kriterium:<br /></strong>Damit eine Reihe überhaupt konvergieren kann muss $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ gelten. Kannst du das Gegenteil zeigen, also $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq 0$ so divergiert die Reihe sofort.<br /><br /></li>
<li><strong>Wert berechnen:<br /></strong>Falls eine geometrische Reihe oder Teleskopreihe vorliegt, kannst du den Wert der Reihe berechnen. Hiermit ist dann auch automatisch gezeigt, dass die vorliegende Reihe konvergiert:<br /><br />
<ul>
<li>Wenn $a_{n}$ die Form $q^{n}$ besitzt, so handelt es sich um eine geometrische Reihe.</li>
</ul>
</li>
</ol>
<ul>
<li style="list-style-type: none;">
<ul>
<li>Teleskopreihen erkennt man meistes an Differenzen. Z. B. $\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$.</li>
</ul>
</li>
</ul>
<p style="padding-left: 40px;"><em>Oft wird in der Aufgabenstellung explizit nach einer Wertberechnung gefragt.</em></p>



<h2 class="content_sub_heading">Konvergenz einer Reihe</h2>
<p><strong>Konvergenz </strong>einer Reihe bedeutet, dass der Wert der Reihe endlich ist:</p>
<p>\[\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \neq \pm \infty\</p>



<h2 class="content_sub_heading">Konvergenz einer Reihe</h2>
<p><strong>Konvergenz </strong>einer Reihe bedeutet, dass der Wert der Reihe endlich ist:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \neq \pm \infty\
" style="vertical-align: -2.819ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.856ex" height="6.354ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 7008.5 2808.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-211-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-211-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 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<h2 class="content_sub_heading">Divergenz einer Reihe</h2>
<p><strong>Divergenz </strong>bedeutet das Gegenteil von Konvergenz, also dass der Wert der Reihe $ \pm$unendlich ist:</p>
<p>\[\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \pm \infty\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Divergenz einer Reihe</h2>
<p><strong>Divergenz </strong>bedeutet das Gegenteil von Konvergenz, also dass der Wert der Reihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \pm" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.76ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 778 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-212-TEX-N-B1" d="M56 320T56 333T70 353H369V502Q369 651 371 655Q376 666 388 666Q402 666 405 654T409 596V500V353H707Q722 345 722 333Q722 320 707 313H409V40H707Q722 32 722 20T707 0H70Q56 7 56 20T70 40H369V313H70Q56 320 56 333Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="B1" xlink:href="#MJX-212-TEX-N-B1"></use></g></g></g></svg></mjx-container>unendlich ist:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \pm \infty" style="vertical-align: -2.819ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.291ex" height="6.354ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 6758.5 2808.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-213-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-213-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-213-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-213-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-213-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-213-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-213-TEX-N-B1" d="M56 320T56 333T70 353H369V502Q369 651 371 655Q376 666 388 666Q402 666 405 654T409 596V500V353H707Q722 345 722 333Q722 320 707 313H409V40H707Q722 32 722 20T707 0H70Q56 7 56 20T70 40H369V313H70Q56 320 56 333Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="munderover" transform="translate(1000,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-213-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(58,-1087.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-213-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-213-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1378,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-213-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(368.4,1150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-213-TEX-N-221E"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2610.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-213-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-213-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3924.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-213-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4980.5,0)"><use data-c="B1" xlink:href="#MJX-213-TEX-N-B1"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5758.5,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-213-TEX-N-221E"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<h2 class="content_sub_heading">Reihe</h2>
<p>Eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden: $\sum_{k}^{\infty} a_{n}$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Reihe</h2>
<p>Eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sum_{k}^{\infty} a_{n}" style="vertical-align: -0.663ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.898ex" height="2.45ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3049 1082.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-210-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-210-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-210-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-210-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-210-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-210-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-210-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-210-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2012.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-210-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-210-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<p><strong>Partialsumme</strong><br />Sei $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine beliebige Folge in $ \mathbb{R} $. Unter der $ n $-ten Partialsumme $ S_{n} $ von $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ versteht man die Summe der ersten $ n $ Glieder von $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $, das heißt:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}<br />\]</p>



<p><strong>Reihe</strong><br />Sei $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine beliebige Folge in $ \mathbb{R} $. Unter einer Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ versteht man die Folge $ \left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ aller Partialsummen von $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $, das heißt:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\begin{aligned}<br />\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} &amp;=\left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \\<br />&amp;=\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right)_{n \in \mathbb{N}} \\\\<br />&amp;=\left(\sum_{k=1}^{1} a_{k}, \textcolor{green}{\sum_{k=1}^{2} a_{k}}, \textcolor{blue}{\sum_{k=1}^{3} a_{k}}, \textcolor{orange}{\sum_{k=1}^{4} a_{k}}, \ldots \right) \\\\<br />&amp;=\left(S_{1}, \textcolor{green}{S_{2}}, \textcolor{blue}{S_{3}}, \textcolor{orange}{S_{4}}, \ldots\right) \\\\<br />&amp;=\left(a_{1}, \textcolor{green}{a_{1}+a_{2}}, \textcolor{blue}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}, \textcolor{orange}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}, \ldots\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>



<p><strong>$ n $-tes Restglied einer Reihe</strong></p>
<p>Sei $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ eine beliebige Reihe. Als $ n $-tes Restglied dieser Reihe bezeichnet man die Reihe:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k}=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+\ldots<br />\]</p>



<p><strong><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-181-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-181-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-tes Restglied einer Reihe</strong></p>
<p>Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-182-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-182-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-182-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-182-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-182-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-182-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-182-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-182-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-182-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-182-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-182-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-182-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-182-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine beliebige Reihe. Als <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-183-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-183-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-tes Restglied dieser Reihe bezeichnet man die Reihe:</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k}=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+\ldots
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<p><strong>Summenregel für Reihen</strong><br />Seien $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ und $ \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} $ zwei konvergente Reihen. Dann gilt</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}+\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}<br />\]</p>



<p><strong>Summenregel für Reihen</strong><br />Seien <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-224-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-224-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 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Dann gilt</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}+\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}
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<p><strong>Aufteilungsregel für Reihen</strong><br />Sei $ \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ eine Folge. Wenn $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{2 k} $ und $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{2 k-1} $ konvergieren, dann ist auch $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ konvergent, und es gilt:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty} a_{2 k}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{2 k-1}<br />\]</p>



<p><strong>Divergenz der harmonischen Reihe</strong><br />Die harmonische Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} $ divergiert.</p>



<p><strong>Divergenz der harmonischen Reihe</strong><br />Die harmonische Reihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} " style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.661ex" height="2.755ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 3386.2 1217.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-23-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-23-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-23-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-23-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(227.4,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-23-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-23-TEX-I-1D458"></use></g><rect width="568.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> divergiert.</p>



<p><strong>Absolute Konvergenz impliziert normale Konvergenz.</strong><br />Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.</p>



<p>Jede absolut konvergente Reihe konvergiert, aber nicht jede konvergente Reihe konvergiert absolut.</p>



<p>Ist $ a_{k} \geq 0 $ für alle $ k \in \mathbb{N} $, dann ist $ \left|a_{k}\right|=a_{k} . $ Die absolute Konvergenz einer Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ mit $ a_{k} \geq 0 $ ist damit gleichbedeutend mit der Konvergenz dieser Reihe.</p>
<p>Also: Eine Reihe mit ausschließlich nicht negativen Summanden konvergiert genau dann absolut, wenn sie konvergiert.</p>



<p>Ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{k} \geq 0 " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.366ex" height="1.864ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2814 823.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-120-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-120-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-120-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-120-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-120-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-120-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1258.2,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-120-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2314,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-120-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" k \in \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.578ex" height="1.661ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2465.6 734" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-121-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 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165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-124-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-124-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1258.2,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-124-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2314,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-124-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist damit gleichbedeutend mit der Konvergenz dieser Reihe.</p>
<p>Also: Eine Reihe mit ausschließlich nicht negativen Summanden konvergiert genau dann absolut, wenn sie konvergiert.</p>



<p><strong>Kriterium für absolute Konvergenz</strong><br />Die Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ konvergiert genau dann absolut, wenn $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{+} $ und $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{-} $ konvergieren. In diesem Fall gilt $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{+}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{-}$</p>



<p>Ordnet man eine konvergente Reihe um, so kann diese Umordnung gegen einen anderen Grenzwert konvergieren.</p>



<p>Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so ist diese bedingt konvergent, d.h. es gibt eine divergente Umordnung dieser Reihe.</p>



<p><strong>Trivialkriterium</strong><br />Wenn eine Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ konvergiert, dann ist $ \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ eine Nullfolge. Dies bedeutet, dass jede Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ divergieren muss, falls $ \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ divergiert oder $ \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \neq 0 $ ist.</p>



<p>In der Praxis ist es normalerweise nicht möglich, eine explizite Darstellung für die Restgliederfolge $ \left(R_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ anzugeben. Jedoch können oft Abschätzungen gefunden werden. So werden wir bei alternierenden Reihen $ \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} b_{k} $ mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums eine Fehlerabschätzung der Restglieder für solche Reihen herleiten. Ebenso können bei Taylorreihen Fehlerabschätzungen gefunden werden.</p>



<p>In der Praxis ist es normalerweise nicht möglich, eine explizite Darstellung für die Restgliederfolge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(R_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.995ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3533.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-187-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-187-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-187-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-187-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-187-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-187-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-187-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-187-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(792,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-187-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1655.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-187-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(2077.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-187-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-187-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-187-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> anzugeben. Jedoch können oft Abschätzungen gefunden werden. So werden wir bei alternierenden Reihen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} b_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.164ex" height="2.708ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -853.7 6702.6 1197.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-188-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 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352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-188-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-188-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2411.1,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2800.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3578.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4078.1,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-188-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5822.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-188-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(462,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-188-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums eine Fehlerabschätzung der Restglieder für solche Reihen herleiten. Ebenso können bei Taylorreihen Fehlerabschätzungen gefunden werden.</p>



<p><strong>Grenzwert einer Reihe</strong><br />Der Grenzwert $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ einer Reihe ist der Limes der Partialsummenfolge $ \left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}: $</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} a_{k}=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}<br />\]</p>



<p><strong>Folge der Restglieder</strong></p>
<p>Sei $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}=\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine beliebige konvergente Reihe. Dann konvergiert die Folge der Restglieder $ \left(R_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(\sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ gegen 0.</p>



<p><strong>Faktorregel für Reihen</strong><br />Sei $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ eine konvergente Reihe und sei $ \lambda \in \mathbb{R} $ eine beliebige reelle Zahl. Es ist dann:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\sum_{k=1}^{\infty} \lambda a_{k}=\lambda \cdot \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}<br />\]</p>



<p><strong>Faktorregel für Reihen</strong><br />Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-227-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-227-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-227-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-227-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-227-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-227-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-227-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-227-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-227-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-227-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-227-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-227-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-227-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine konvergente Reihe und sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \lambda \in \mathbb{R} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.718ex" height="1.661ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2527.6 734" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-228-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-228-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-228-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 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data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1805.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-228-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine beliebige reelle Zahl. Es ist dann:</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\sum_{k=1}^{\infty} \lambda a_{k}=\lambda \cdot \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}
" style="vertical-align: -2.864ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.014ex" height="6.399ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 8404.1 2828.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-229-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-229-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 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<p><strong>Klammersetzen in Reihen</strong><br />Konvergiert eine Reihe, so konvergiert auch jede Reihe gegen denselben Grenzwert, die durch neue Klammern aus der ursprünglichen Reihe entstanden ist. Divergiert eine Reihe, so können beliebig Klammerungen weggelassen werden.</p>
<p>Sei $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ eine konvergente Reihe. Sei außerdem $ \left(j_{l}\right)_{l \in \mathbb{N}} $ eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit $ j_{1}=1 $. Hier gibt $ j_{l} $ den Index des ersten Summanden der $ l $-ten Teilsumme an, die durch die Klammerung zusammengefasst wird. Es gilt also:</p>
<ul>
<li>Konvergiert $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ so konvergiert auch $ \sum_{l=1}^{\infty}\left(\sum_{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1} a_{k}\right) $ gegen denselben Grenzwert.</li>
<li>Divergiert $ \sum_{l=1}^{\infty}\left(\sum_{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1} a_{k}\right) $, so divergiert auch $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} . $ In divergenten Reihen können also Klammerungen weggelassen werden, ohne dass das Grenzwertverhalten verändert wird.</li>
</ul>



<p>Das Grenzwertverhalten einer reellwertigen und konvergenten Reihe ist genau dann immun gegen eine Umsortierung ihrer Summanden, wenn sie absolut konvergiert.</p>



<p><strong>absolute Konvergenz</strong><br />Eine Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ konvergiert genau dann absolut, wenn $ \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{k}\right| $ konvergiert.</p>



<p><strong>absolute Konvergenz</strong><br />Eine Reihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-118-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-118-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 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transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-119-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-119-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-119-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-119-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-119-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-119-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-119-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-119-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1258.4,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-119-TEX-N-7C"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert.</p>



<p><strong>Umordnung einer Reihe</strong><br />Sei $ \sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{\sigma(k)} $ eine <em>Umordnung </em>der Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $.</p>



<p><strong>Umordnung einer Reihe</strong><br />Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.045ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.964ex" height="1.59ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 4404.1 703" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-89-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path id="MJX-89-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-89-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path><path id="MJX-89-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-89-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(848.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-89-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1404.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-89-TEX-D-2115"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2404.3,0)"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-89-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3682.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-89-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Reihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{\sigma(k)} " style="vertical-align: -0.8ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.208ex" height="2.586ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 4512 1143.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-90-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-90-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-90-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 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transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-90-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-90-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-176.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-90-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(571,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-90-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(960,0)"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-90-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1481,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-90-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine <em>Umordnung </em>der Reihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-91-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-91-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-91-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 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106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-91-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-91-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-91-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-91-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-91-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-91-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-91-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>



<p><strong>Umordungssatz für nichtnegative Reihen</strong><br />Sei $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ eine konvergente Reihe mit $ a_{k} \geq 0 $ für alle $ k \in \mathbb{N} $. Dann konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert.</p>



<p><strong>Umordungssatz für nichtnegative Reihen</strong><br />Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-92-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-92-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 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xlink:href="#MJX-92-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-92-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-92-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-92-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine konvergente Reihe mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{k} \geq 0 " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.366ex" height="1.864ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2814 823.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-93-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-93-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-93-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-93-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1258.2,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-93-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2314,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-93-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" k \in \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.578ex" height="1.661ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2465.6 734" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-94-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 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transform="translate(798.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-94-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1743.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-94-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>. Dann konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert.</p>



<p>Sei $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert. Dann gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die divergiert.</p>



<p>Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-98-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-98-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-98-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-98-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-98-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert. Dann gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die divergiert.</p>



<p>Analog konvergiert auch jede Umordnung einer konvergenten Reihe mit nichtpositiven Gliedern gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe.</p>



<p>Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen $ \infty $ konvergiert.</p>
<p>Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen $ -\infty $ konvergiert.</p>



<p>Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \infty " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1000 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-99-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-99-TEX-N-221E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert.</p>
<p>Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" -\infty " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.023ex" height="1.505ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 1778 665" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-100-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-100-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-100-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-100-TEX-N-221E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert.</p>



<p>Ist $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ eine konvergente, jedoch <em>nicht </em>absolut konvergente Reihe, so sind die Reihen $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{+} $und $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{-} $beide divergent.</p>



<p>Ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-95-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-95-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 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scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-97-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-97-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,411.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-2212"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-317.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-97-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>beide divergent.</p>



<p><strong>Umordnungssatz - Allgemeine Form</strong></p>
<p>Es konvergiert genau dann jede Umordnung einer konvergenten Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $, wenn diese Reihe absolut konvergiert.<br />Anders ausgedrückt: Eine konvergente Reihe ist genau dann unbedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent ist.</p>



<p><strong>Umordnungssatz - Allgemeine Form</strong></p>
<p>Es konvergiert genau dann jede Umordnung einer konvergenten Reihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-101-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-101-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-101-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-101-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-101-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-101-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-101-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-101-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-101-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-101-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-101-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-101-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-101-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>, wenn diese Reihe absolut konvergiert.<br />Anders ausgedrückt: Eine konvergente Reihe ist genau dann unbedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent ist.</p>



<p>Dass eine Folge $ \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ eine Nullfolge ist, ist nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz der Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $.</p>



<p>Dass eine Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.222ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3192 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-75-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-75-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-75-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-75-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-75-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-75-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 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data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-76-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-76-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-76-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-76-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-76-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-76-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-76-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>



<p>Ist $ \lim \sup_{k \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{k+1}\right|}{\left|a_{k}\right|}=\limsup _{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| &lt; 1 $, dann konvergiert die Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ absolut.</p>



<p>Ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \lim \sup_{k \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{k+1}\right|}{\left|a_{k}\right|}=\limsup _{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| < 1 " style="vertical-align: -1.236ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="40.631ex" height="3.604ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1046.4 17959 1592.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-166-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-166-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 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transform="scale(1,2.122)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16403.2,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJX-166-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(17459,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-166-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, dann konvergiert die Reihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-167-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-167-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-167-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-167-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> absolut.</p>



<p>Ist $ \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \geq 1 $ für fast alle $ k \in \mathbb{N} $ erfüllt, dann ist $ \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ keine Nullfolge. Die Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ divergiert nach dem Trivialkriterium.</p>



<p>Ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \geq 1 " style="vertical-align: -1.033ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.665ex" height="3.197ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -956.6 4271.8 1413.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-168-TEX-S4-2223" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-168-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-168-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-168-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 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Die Reihe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} " style="vertical-align: -0.777ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.05ex" height="2.563ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789.6 3558.2 1132.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-171-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-171-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-171-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-171-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-171-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-171-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-171-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-171-TEX-N-221E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1089,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-171-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-171-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-171-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2577.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-171-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-171-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> divergiert nach dem Trivialkriterium.</p>



<p><strong>Quotienten-Kriterium für Konvergenz</strong></p>
<p>Sei $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ eine Reihe mit $ a_{k} \neq 0 $ für alle $ k \in \mathbb{N} $. Wenn $ \lim \sup _{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| &lt; $ 1 ist, dann ist die Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ absolut konvergent.</p>
<p>Wenn $ \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \geq 1 $ für fast alle $ k \in \mathbb{N} $ ist (also für alle $ k \geq K $ für ein bestimmtes $ K \in \mathbb{N} $ ), dann ist die Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $ divergent.</p>



<p>Ist $ \lim _{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| &lt; 1 $, dann gibt es ein $ \theta &lt; 1 $ mit $ \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| &lt; \theta $ für fast alle $ k \in \mathbb{N} $, womit die Reihe absolut konvergiert. Analog divergiert die Reihe, wenn $ \lim _{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| &gt; 1 $ ist.</p>



<p><strong>Anwendung des Quotientenkriteriums</strong></p>
<ol>
<li>
<p>Ist lim sup $ _{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| &lt; 1 $, dann konvergiert die Reihe absolut.</p>
</li>
<li>
<p>Ist liminf $ _{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| &gt; 1 $, dann divergiert die Reihe.</p>
</li>
<li>
<p>Ist $ \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \geq 1 $ für fast alle $ k \in \mathbb{N} $, dann divergiert die Reihe.</p>
</li>
<li>
<p>Können wir keinen der drei Fälle anwenden, können wir nichts über die Konvergenz der Reihe aussagen.</p>
</li>
</ol>



<p><strong>Anwendung des Quotientenkriteriums</strong></p>
<ol>
<li>
<p>Ist lim sup <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" _{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| < 1 " style="vertical-align: -1.033ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.263ex" height="3.197ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -956.6 6304.1 1413.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-187-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 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</li>
<li>
<p>Ist liminf <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" _{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| > 1 " style="vertical-align: -1.033ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.263ex" height="3.197ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -956.6 6304.1 1413.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-188-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 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divergiert die Reihe.</p>
</li>
<li>
<p>Ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \geq 1 " style="vertical-align: -1.033ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.665ex" height="3.197ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -956.6 4271.8 1413.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-189-TEX-S4-2223" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-189-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 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transform="translate(798.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-190-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1743.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-190-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>, dann divergiert die Reihe.</p>
</li>
<li>
<p>Können wir keinen der drei Fälle anwenden, können wir nichts über die Konvergenz der Reihe aussagen.</p>
</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: