Kommen wir nun zum Wurzelkriterium, welches ein mächtiges Kriterium ist, um Konvergenz oder Divergenz einer konkret gegebenen Reihe nachzuweisen. Es basiert auf dem Majorantenkriterium, wobei hier die Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz der geometrischen Reihe mit zurückgeführt wird.
Herleitung
Wiederholung
Wir haben bereits das Majorantenkriterium kennengelernt. Es besagt, dass eine Reihe absolut konvergiert, wenn es eine konvergente Reihe mit gibt.
Außerdem wissen wir, dass jede geometrische Reihe mit konvergiert.
Erste Herleitung
Sei eine Reihe, deren Konvergenz wir mit Hilfe des Majorantenkriteriums nachweisen wollen, indem wir die Konvergenz der Reihe auf die Konvergenz der geometrischen Reihe zurückführen. Um das Majorantenkriterium so anwenden zu können, muss es ein mit geben. Dann ist
Die Reihe konvergiert nach dem Majorantenkriterium absolut. Die Ungleichung können wir umformen:
Wenn es also ein mit gibt, so dass ist, dann ist und die Reihe konvergiert.
Umformulierung mit Limes Superior
Für das Konvergenzverhalten ist der Wert von endlich vielen Summanden egal. Dementsprechend muss auch nicht für alle gelten, sondern nur für alle bis auf endlich viele Ausnahmen. Es muss also nur für fast alle die Ungleichung erfüllt sein.
Die Forderung, dass es ein mit für fast alle gibt, können wir auch mit dem Limes Superior formulieren:
Anders ausgedrückt:
Ist für fast alle , dann ist die Folge nach oben beschränkt und muss einen größten Häufungspunkt kleiner gleich besitzen.
Dieser Häufungspunkt ist gleich und es gilt . Sei umgekehrt limsup für ein . Dann ist für alle die Ungleichung für fast alle erfüllt. Wegen gibt es ein , das klein genug ist, damit auch ist. Setzen wir . Es ist und die Ungleichung ist für fast alle erfüllt. Anstelle von für fast alle reicht auch , um die Konvergenz der Reihe zu zeigen. Wir können also zusammenfassen:
Hinweis
Ist , dann konvergiert die Reihe absolut.
Wurzelkriterium für Divergenz
Wir haben bisher nur das Wurzelkriterium für die Konvergenz einer Reihe kennengelernt. Gibt es auch ein Wurzelkriterium für die Divergenz einer Reihe? Stellen wir uns vor, dass ist. Dann ist für unendich viele die Ungleichung erfüllt. Für diese gilt , womit keine Nullfolge ist. Damit kann aber auch keine Nullfolge sein. Aus dem Trivialkriterium folgt dann, dass divergiert. Wir können diesen Fall verallgemeinern, indem wir anstelle von limsup die Ungleichung für fast alle fordern.
Definition
Das Wurzelkriterium lautet:
Definition
Sei eine Reihe. Wenn ist, dann konvergiert die Reihe absolut. Ist , dann divergiert die Reihe. Auch wenn für unendlich viele ist, divergiert die Reihe.
Hinweis
Konvergiert , dann ist . Man kann also auch betrachten, wenn dieser Limes existiert. Dies wird in den meisten Konvergenzbeweisen mit dem Wurzelkriterium auch getan.
Grenzen des Wurzelkriteriums
Im Fall lim sup können wir nichts über Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe sagen. Es gibt nämlich sowohl konvergente als auch divergente Reihen, die diese Gleichung erfüllen. Ein Beispiel ist die divergente harmonische Reihe . Es ist
Aber auch die konvergente Reihe erfüllt diese Gleichung:
Dies zeigt, dass wir aus weder zeigen können, dass die Reihe konvergiert, noch dass sie divergiert. Wir müssen also in einem solchen Fall ein anderes Konvergenzkriterium verwenden!
Vorgehen bei der Anwendung des Wurzelkriteriums
Um das Wurzelkriterium auf eine Reihe anzuwenden, können wir folgendermaßen vorgehen:
Vorgehen
Anwendung des Wurzelkriteriums
Wir bilden und betrachten dessen Limes (bei Existenz des Limes) bzw. dessen Limes Superior.
Ist lim sup , dann konvergiert die Reihe absolut.
Ist sup , dann divergiert die Reihe.
Ist für unendlich viele , dann divergiert die Reihe.
Trifft keiner der drei Fälle zu, können wir nichts zum Konvergenzverhalten der Reihe aussagen.
