Gegeben sei Folge f mit

f_1 = 1 und f_2 = 1 , f_n = f_n-1 + f_n-2.

Außerdem sei vorausgesetzt, dass die Folge Konvergiert und es bezeichne

lim_{n--> +unendlich} f_{n + 1} / f_{n} = a

Berechne a.

Forme zunächst die Gleichung

f_{n + 1} / f_{n} = a

um.

Dazu: nutze, dass

f_n = f_n-1 + f_n-2

Wegen

f_n = f_n-1 + f_n-2

folgt durch Substitution 'n=n+1',dass

f_n+1 = f_n + f_n-1

Also gilt

f_{n + 1} / f_{n} = a  <==>  (f_{n} + f_{n-1}) / f_{n} = a  <==> 1 + f_{n-1} / f_{n} = a

Aus f_{n + 1} / f_{n} = a folgt durch umformen

f_{n} / f_{n+1} = 1/a

und durch Substitution n = n-1

f_{n-1} / f_{n} = 1/a (hier bleibt durch Induktion zu zeigen, dass f_{n} > 0 für alle n

Wir erhalten die Gleichung

1 + 1/a = a

und umformen liefert

a + 1 = a^2