Chemie

Allgemeine Wahrheitsuntersuchungen

Zusätzlich zum direkten Beweis, ist es auch möglich den Wahrheitsgehalt einer Aussage über den indirekten Beweis zu führen. Dazu wird die Negation der Aussage gebildet und anschließend auf ihren Wahrheitsgehalt geprüft.

Gegenbeweis

Die Wahrheitstafel stellt eine hilfreiche Methodik dar, um den Wahrheitsgehalt einer komplexen Aussage systematisch zu untersuchen. Die Aussage setzt sich dabei aus mehreren einfacheren Teilaussagen zusammen.

Wahrheitstafeln

Wahrheitstafel

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>Die ursprüngliche Aussage ist wahr, da die Negation falsch ist.</p>

<p>Die Aussage bedeutet: Für jedes $x$, existiert eine ganze Zahl $y$, sodass gilt: $x+y &amp;lt; \sqrt{(x+y)^{2}}$.</p>


<p>Die Aussage bedeutet: Für jedes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-224-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-224-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, existiert eine ganze Zahl <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-225-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-225-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, sodass gilt: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x+y < \sqrt{(x+y)^{2}}" style="vertical-align: -0.628ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.409ex" height="2.851ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -982.5 8137 1260" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-226-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-226-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-226-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-226-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-226-TEX-SO-221A" d="M263 249Q264 249 315 130T417 -108T470 -228L725 302Q981 837 982 839Q989 850 1001 850Q1008 850 1013 844T1020 832V826L741 243Q645 43 540 -176Q479 -303 469 -324T453 -348Q449 -350 436 -350L424 -349L315 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<p>$1$. Bilde die Negation der Aufgabe:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-227-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-227-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bilde die Negation der Aufgabe:</p>


<p>$$\exists x\in \mathbb{R} \text{, } \forall y\in \mathrm{Z}: x+y\geq\sqrt{(x+y)^{2}}$$</p>


<p>Die Negation bedeutet also: Es existiert ein $x$, sodass für alle ganzen Zahlen $y$ gilt, dass $x+y \geq \sqrt{(x+y)^{2}}$.</p>


<p>Die Negation bedeutet also: Es existiert ein <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-229-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-229-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, sodass für alle ganzen Zahlen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-230-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-230-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt, dass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x+y \geq \sqrt{(x+y)^{2}}" style="vertical-align: -0.628ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.409ex" height="2.851ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -982.5 8137 1260" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-231-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-231-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-231-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-231-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-231-TEX-SO-221A" d="M263 249Q264 249 315 130T417 -108T470 -228L725 302Q981 837 982 839Q989 850 1001 850Q1008 850 1013 844T1020 832V826L741 243Q645 43 540 -176Q479 -303 469 -324T453 -348Q449 -350 436 -350L424 -349L315 -96Q206 156 205 156L171 130Q138 104 137 104L111 130L263 249Z"></path><path id="MJX-231-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-231-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-231-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(794.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1794.4,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2562.2,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(3618,0)"><g transform="translate(1020,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-231-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-231-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2183.4,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-231-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2673.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-231-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-231-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,72.5)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-231-TEX-SO-221A"></use></g><rect width="3499" height="60" x="1020" y="862.5"></rect></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>$2$. Prüfe den Wahrheitsgehalt der Negation und begründe deine Aussage</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-232-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-232-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Prüfe den Wahrheitsgehalt der Negation und begründe deine Aussage</p>


<p>Vereinfache zunächst die rechte Seite der Ungleichung.</p>


<p>$$\sqrt{(x+y)^{2}}=|x+y|$$</p>
<p>Die rechte Seite ist nie negativ.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\sqrt{(x+y)^{2}}=|x+y|" style="vertical-align: -1.199ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.667ex" height="4.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1330.2 8693 1860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-233-TEX-LO-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path><path id="MJX-233-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-233-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-233-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-233-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-233-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-233-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-233-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-233-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msqrt"><g transform="translate(1020,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-233-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-233-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-233-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2183.4,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-233-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2673.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-233-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-233-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,120.2)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-233-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="3499" height="60" x="1020" y="1210.2"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4796.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-233-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5852.6,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-233-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6130.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-233-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6924.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-233-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7925,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-233-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8415,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-233-TEX-N-7C"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>Die rechte Seite ist nie negativ.</p>


<p>Du kannst zu jedem $x$ eine ganze Zahl $y$ finden, sodass die linke Seite negativ wird. Die Negation ist somit falsch.</p>


<p>Du kannst zu jedem <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-234-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-234-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> eine ganze Zahl <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-235-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-235-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> finden, sodass die linke Seite negativ wird. Die Negation ist somit falsch.</p>


<p>Bilden Sie die Negation der angegebenen Aussage</p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\forall x\in \mathbb{R} \text{, } \exists y\in \mathrm{Z}:x+y &amp;lt; \sqrt{(x+y)^{2}}$$</p>
<p>und überprüfen Sie deren Wahrheitsgehalt mit einer kurzen Begründung oder durch Angabe eines Gegenbeispiels.</p>

<p>Bilden Sie die Negation der angegebenen Aussage</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\forall x\in \mathbb{R} \text{, } \exists y\in \mathrm{Z}:x+y < \sqrt{(x+y)^{2}}" style="vertical-align: -1.199ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.956ex" height="4.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1330.2 15450.7 1860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-223-TEX-N-2200" d="M0 673Q0 684 7 689T20 694Q32 694 38 680T82 567L126 451H430L473 566Q483 593 494 622T512 668T519 685Q524 694 538 694Q556 692 556 674Q556 670 426 329T293 -15Q288 -22 278 -22T263 -15Q260 -11 131 328T0 673ZM414 410Q414 411 278 411T142 410L278 55L414 410Z"></path><path id="MJX-223-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 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381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-223-TEX-N-5A" d="M69 443Q69 452 74 554T80 683H549Q555 677 555 664Q555 649 554 648Q552 645 366 348T179 50T192 49T263 49H275H302Q333 49 353 50T401 59T447 78T482 115T507 173Q513 200 520 273V282H560V274Q560 272 552 143T543 8V0H302L61 1L58 3Q55 8 55 21V35Q59 43 153 193T340 489T432 637H343Q259 637 214 625T141 573Q109 523 109 445Q109 443 89 443H69Z"></path><path id="MJX-223-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-223-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-223-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-223-TEX-LO-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path><path id="MJX-223-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-223-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 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transform="translate(2673.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-223-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-223-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,120.2)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-223-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="3499" height="60" x="1020" y="1210.2"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>und überprüfen Sie deren Wahrheitsgehalt mit einer kurzen Begründung oder durch Angabe eines Gegenbeispiels.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gegenbeweis mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Logik - Gegenbeweis | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Übersicht der wichtigsten Quantoren/Junktoren</h2>
<table style="border-collapse: collapse; width: 100%; height: 162px; border-style: hidden; float: left;" border="1">
<tbody>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;"><strong>Name</strong></td>
<td style="width: 33.3333%; text-align: center; height: 18px;"><strong>Zeichen</strong></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;"><strong>Gesprochen</strong></td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Existenzquantor</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;">$\exists$</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Es gibt ein...</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Existenzquantor</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;"> $\exists !$</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Es gibt genau ein...</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Allquantor</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;">$\forall$</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Für alle...</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Negation</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;">$\neg A$</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">NIcht A</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Konjunktion (logisches und)</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;">$A \wedge B$</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">A und B</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Disjunktion (logisches oder)</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;">$A \vee B$</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">A oder B</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Subjunktion (Implikation)</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;">$A \Rightarrow B$</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Wenn A, dann auch B</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Bisubjunktion (Äquivalenz)</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;">$A \Leftrightarrow B$</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">A genau dann, wenn B gilt und umgekehrt</td>
</tr>
</tbody>
</table>



<h2 class="content_sub_heading">Übersicht der wichtigsten Quantoren/Junktoren</h2>
<table style="border-collapse: collapse; width: 100%; height: 162px; border-style: hidden; float: left;" border="1">
<tbody>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;"><strong>Name</strong></td>
<td style="width: 33.3333%; text-align: center; height: 18px;"><strong>Zeichen</strong></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;"><strong>Gesprochen</strong></td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Existenzquantor</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\exists" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.258ex" height="1.57ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 556 694" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-109-TEX-N-2203" d="M56 661T56 674T70 694H487Q497 686 500 679V15Q497 10 487 1L279 0H70Q56 7 56 20T70 40H460V327H84Q70 334 70 347T84 367H460V654H70Q56 661 56 674Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2203" xlink:href="#MJX-109-TEX-N-2203"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Es gibt ein...</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Existenzquantor</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;"> <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\exists !" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.887ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 834 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-110-TEX-N-2203" d="M56 661T56 674T70 694H487Q497 686 500 679V15Q497 10 487 1L279 0H70Q56 7 56 20T70 40H460V327H84Q70 334 70 347T84 367H460V654H70Q56 661 56 674Z"></path><path id="MJX-110-TEX-N-21" d="M78 661Q78 682 96 699T138 716T180 700T199 661Q199 654 179 432T158 206Q156 198 139 198Q121 198 119 206Q118 209 98 431T78 661ZM79 61Q79 89 97 105T141 121Q164 119 181 104T198 61Q198 31 181 16T139 1Q114 1 97 16T79 61Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2203" xlink:href="#MJX-110-TEX-N-2203"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(556,0)"><use data-c="21" xlink:href="#MJX-110-TEX-N-21"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Es gibt genau ein...</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Allquantor</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\forall" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.258ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 556 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-111-TEX-N-2200" d="M0 673Q0 684 7 689T20 694Q32 694 38 680T82 567L126 451H430L473 566Q483 593 494 622T512 668T519 685Q524 694 538 694Q556 692 556 674Q556 670 426 329T293 -15Q288 -22 278 -22T263 -15Q260 -11 131 328T0 673ZM414 410Q414 411 278 411T142 410L278 55L414 410Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2200" xlink:href="#MJX-111-TEX-N-2200"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Für alle...</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Negation</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\neg A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.206ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1417 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-112-TEX-N-AC" d="M56 323T56 336T70 356H596Q603 353 611 343V102Q598 89 591 89Q587 89 584 90T579 94T575 98T572 102L571 209V316H70Q56 323 56 336Z"></path><path id="MJX-112-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="AC" xlink:href="#MJX-112-TEX-N-AC"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(667,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-112-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">NIcht A</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Konjunktion (logisches und)</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A \wedge B" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.929ex" height="1.67ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2620.4 738" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-113-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-113-TEX-N-2227" d="M318 591Q325 598 333 598Q344 598 348 591Q349 590 414 445T545 151T611 -4Q609 -22 591 -22Q588 -22 586 -21T581 -20T577 -17T575 -13T572 -9T570 -4L333 528L96 -4Q87 -20 80 -21Q78 -22 75 -22Q57 -22 55 -4Q55 2 120 150T251 444T318 591Z"></path><path id="MJX-113-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-113-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(972.2,0)"><use data-c="2227" xlink:href="#MJX-113-TEX-N-2227"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1861.4,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-113-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">A und B</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Disjunktion (logisches oder)</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A \vee B" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.929ex" height="1.67ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2620.4 738" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-114-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-114-TEX-N-2228" d="M55 580Q56 587 61 592T75 598Q86 598 96 580L333 48L570 580Q579 596 586 597Q588 598 591 598Q609 598 611 580Q611 574 546 426T415 132T348 -15Q343 -22 333 -22T318 -15Q317 -14 252 131T121 425T55 580Z"></path><path id="MJX-114-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-114-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(972.2,0)"><use data-c="2228" xlink:href="#MJX-114-TEX-N-2228"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1861.4,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-114-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">A oder B</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Subjunktion (Implikation)</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A \Rightarrow B" style="vertical-align: -0.054ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.933ex" height="1.674ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 3064.6 740" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-115-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-115-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-115-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-115-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-115-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2305.6,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-115-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Wenn A, dann auch B</td>
</tr>
<tr style="height: 18px;">
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">Bisubjunktion (Äquivalenz)</td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px; text-align: center;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A \Leftrightarrow B" style="vertical-align: -0.057ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.933ex" height="1.676ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 3064.6 741" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-116-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-116-TEX-N-21D4" d="M308 524Q318 526 323 526Q340 526 340 514Q340 507 336 499Q326 476 314 454T292 417T274 391T260 374L255 368Q255 367 500 367Q744 367 744 368L739 374Q734 379 726 390T707 416T685 453T663 499Q658 511 658 515Q658 525 680 525Q687 524 690 523T695 519T701 507Q766 359 902 287Q921 276 939 269T961 259T966 250Q966 246 965 244T960 240T949 236T930 228T902 213Q763 137 701 -7Q697 -16 695 -19T690 -23T680 -25Q658 -25 658 -15Q658 -11 663 1Q673 24 685 46T707 83T725 109T739 126L744 132Q744 133 500 133Q255 133 255 132L260 126Q265 121 273 110T292 84T314 47T336 1Q341 -11 341 -15Q341 -25 319 -25Q312 -24 309 -23T304 -19T298 -7Q233 141 97 213Q83 221 70 227T51 235T41 239T35 243T34 250T35 256T40 261T51 265T70 273T97 287Q235 363 299 509Q305 522 308 524ZM792 319L783 327H216Q183 294 120 256L110 250L120 244Q173 212 207 181L216 173H783L792 181Q826 212 879 244L889 250L879 256Q826 288 792 319Z"></path><path id="MJX-116-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-116-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="21D4" xlink:href="#MJX-116-TEX-N-21D4"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2305.6,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-116-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container></td>
<td style="width: 33.3333%; height: 18px;">A genau dann, wenn B gilt und umgekehrt</td>
</tr>
</tbody>
</table>



<h2 class="content_sub_heading">Zahlenarten im Überblick</h2>
<p><strong>Natürliche Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6, \ldots\}$$</p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{N}_{0}=\{0,1,2,3,4,5,6, \ldots\}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Ganze Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots\}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Rationale Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{Q}=\left\{x=\frac{a}{b} \ \middle| \ a, b \in \mathbb{Z}, \ b \neq 0\right\}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Rationale Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathbb{R}=(-\infty, \infty)$</p>
<p> </p>
<p><strong>Komplexe Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathrm{C}=\left\{a+b \cdot i \ \middle| \ a, b \in \mathrm{R}\right\}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Zusammenhang der Zahlenmengen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Gegenbeweis</h2>
<p><strong>1)</strong> Bilde die Negation der zu untersuchenden Aussage. Nutze:</p>
<p> </p>
<p>$$\begin{array}{c|c} {\text {Symbol}} &amp; {\text{Negation}} \\ \hline \forall &amp; {\exists} \\ \hline=&amp; {\neq} \\ \hline&amp;lt;&amp; {\geq} \\ \hline \vee &amp; {\wedge}\end{array}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>2) </strong>Prüfe den Wahrheitsgehalt der Negation. Gegebenenfalls musst du hierfür ein allgemeines Gegenbeispiel finden.</p>
<p> </p>
<p><strong>3)</strong> Aus dem Wahrheitsgehalt der Negation ergibt sich im Umkehrschluss direkt auch der Wahrheitsgehalt der ursprünglichen Aussage. Denn:</p>
<ul>
<li>Gilt eine Aussage nicht für alle Elemente, so existiert (mindestens) eines, für das die Negation gilt.</li>
<li>Wenn eine Aussage nicht für ein Element gilt, also für keines, so gilt die negierte Aussage für alle.</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Gegenbeweis</h2>
<p><strong>1)</strong> Bilde die Negation der zu untersuchenden Aussage. Nutze:</p>
<p> </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{array}{c|c} {\text {Symbol}} & {\text{Negation}} \\ \hline \forall & {\exists} \\ \hline=& {\neq} \\ \hline<& {\geq} \\ \hline \vee & {\wedge}\end{array}" style="vertical-align: -7.217ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.638ex" height="15.566ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3690 8238 6880" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-376-TEX-N-53" d="M55 507Q55 590 112 647T243 704H257Q342 704 405 641L426 672Q431 679 436 687T446 700L449 704Q450 704 453 704T459 705H463Q466 705 472 699V462L466 456H448Q437 456 435 459T430 479Q413 605 329 646Q292 662 254 662Q201 662 168 626T135 542Q135 508 152 480T200 435Q210 431 286 412T370 389Q427 367 463 314T500 191Q500 110 448 45T301 -21Q245 -21 201 -4T140 27L122 41Q118 36 107 21T87 -7T78 -21Q76 -22 68 -22H64Q61 -22 55 -16V101Q55 220 56 222Q58 227 76 227H89Q95 221 95 214Q95 182 105 151T139 90T205 42T305 24Q352 24 386 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<p> </p>
<p><strong>2) </strong>Prüfe den Wahrheitsgehalt der Negation. Gegebenenfalls musst du hierfür ein allgemeines Gegenbeispiel finden.</p>
<p> </p>
<p><strong>3)</strong> Aus dem Wahrheitsgehalt der Negation ergibt sich im Umkehrschluss direkt auch der Wahrheitsgehalt der ursprünglichen Aussage. Denn:</p>
<ul>
<li>Gilt eine Aussage nicht für alle Elemente, so existiert (mindestens) eines, für das die Negation gilt.</li>
<li>Wenn eine Aussage nicht für ein Element gilt, also für keines, so gilt die negierte Aussage für alle.</li>
</ul>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: