Das Thema Mengendefinition befasst sich mit der Art und Weise, wie du Mengen mathematisch aufschreiben bzw. formulieren kannst.

Mengen definieren

Hast du mehr als eine Menge vorliegen, so gibt es die Möglichkeit verschiedene Mengenoperationen anzuwenden. Dies kann helfen um die Mengen zusammenzufassen oder gegenseitig zu beeinflussen.

Vereinigung, Schnitt und Differenz

Vereinigung, Schnitt, Differenz

Das kartesische Produkt ist eine weitere Mengenoperation, welche sich auch gut grafisch darstellen lässt. Es wird verwendet, um alle möglichen Kombinationen von Mengenelementen zu bilden.

Kartesisches Produkt

In diesem Thema wird untersucht, ob eine bestimmte Menge komplett in einer anderen enthalten ist.

Teilmenge prüfen

Teilmengen prüfen

Hier werden die oberen und unteren Schranken von Mengen untersucht. Dies kann wichtig sein, um z. B. Aussagen über die Beschränktheit der vorliegenden Menge treffen zu können.

Supremum, Infimum, Maximum, Minimum

Supremum und Infimum 

Uneigentliches Supremum und Infimum

Supremum und Infimum bestimmen und beweisen

Eigenschaften Supremum und Infimum

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<p>$$\left\{ \frac{a}{2} \ \middle| \ a \in \mathbb{Z} \right\}$$</p>

<p>$1$. Finde eine geeignete Bildungsvorschrift:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-168-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-168-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Finde eine geeignete Bildungsvorschrift:</p>


<p>$2$. Finde nun eine Grundmenge, dessen Elemente für $a$ in die Bildungsvorschrift eingesetzt werden sollen.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-170-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-170-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Finde nun eine Grundmenge, dessen Elemente für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-171-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-171-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in die Bildungsvorschrift eingesetzt werden sollen.</p>


<p>Vielfaches bedeutet hier, dass $\frac{1}{2}$ mit z.B. $-1, 1, 2, ...$ multipliziert werden soll. Somit können für $a$ alle ganzen Zahlen eingesetzt werden.</p>
<p>Zusammengefasst ergibt sich:</p>


<p>Vielfaches bedeutet hier, dass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\frac{1}{2}" style="vertical-align: -0.781ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.795ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 793.6 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-172-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-172-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-172-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-172-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> mit z.B. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="-1, 1, 2, ..." style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.813ex" height="1.946ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4779.3 860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-173-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1278,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.7,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2222.7,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2667.3,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3167.3,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3612,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4056.7,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4501.3,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> multipliziert werden soll. Somit können für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-174-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-174-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> alle ganzen Zahlen eingesetzt werden.</p>
<p>Zusammengefasst ergibt sich:</p>


<p>$$\left\{ \frac{a}{2} \ \middle| \ a \in \mathbb{Z} \right\}$$</p>


<p>Alternativ ergibt sich über ein Vorgehen mittels $\{ \text{Grundmenge} \ | \ \text{Bedingung} \}$:</p>
<p>$$\left\{ x \in \mathbb{Q} \ \middle| \ x= \frac{a}{2},\ a \in \mathbb{Z} \right\}$$</p>

<p>Alternativ ergibt sich über ein Vorgehen mittels <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{ \text{Grundmenge} \ | \ \text{Bedingung} \}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.271ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 12054 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-176-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 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<p>Finde eine exakte Mengendefinition der Form $\{ \text{Bildungsvorschrift} \ | \ \text{Grundmenge} \}$ für: "Alle Vielfache von $\frac{1}{2}$".</p>

<p>Finde eine exakte Mengendefinition der Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{ \text{Bildungsvorschrift} \ | \ \text{Grundmenge} \}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.853ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 15405 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-166-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Mengen definieren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Mengen und Zahlen - Mengen definieren | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Zahlenarten im Überblick</h2>
<p><strong>Natürliche Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6, \ldots\}$$</p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{N}_{0}=\{0,1,2,3,4,5,6, \ldots\}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Ganze Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots\}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Rationale Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{Q}=\left\{x=\frac{a}{b} \ \middle| \ a, b \in \mathbb{Z}, \ b \neq 0\right\}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Rationale Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$\mathbb{R}=(-\infty, \infty)$</p>
<p> </p>
<p><strong>Komplexe Zahlen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathrm{C}=\left\{a+b \cdot i \ \middle| \ a, b \in \mathrm{R}\right\}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Zusammenhang der Zahlenmengen:</strong></p>
<p style="padding-left: 40px;">$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Mengen definieren</h2>
<p>Möglichkeiten eine Menge zu formulieren:</p>
<p> </p>
<ol>
<li>Explizites aufzählen aller Elemente, die in der Menge vorkommen:<br />$\{2,3,4\}$<br /><br /></li>
<li>Nutzen der Zahlenmengen:<br />$\mathbb{N}, \mathbb{R}_{+}, \mathbb{Z} \backslash\{2,3,4\}$<br /><br /></li>
<li>Intervallschreibweise (nur bei reellen Zahlen):<br />$[0, \infty)$ oder $[-3,5] \cup[5,8)$<br /><br /></li>
<li>Formulieren einer Grundmenge und einer einschränkenden Bedingung $\left\{\text {Grundmenge } | \text { Bedingung} \right\}$:<br />$M=\{x \in \mathbb{R} \ | \ x&amp;gt;7\}$<br /><br /></li>
<li>Formulierung einer Bildungsvorschrift und Grundmenge (wird in Bildungsvorschrift eingesetzt) $\left\{\text {Bildungsvorschrift } | \text { Grundmenge} \right\}$:<br />$M=\{k+3 \ | \ k \in \mathbb{N}\}$</li>
</ol>
<p> </p>
<p>Ob du besser 4. oder 5. benutzt, entscheidet sich meist aufgrund der Aufgabenstellung. Ist eine Grundmenge gegeben, wähle 4.. Ansonsten versuche eine Bildungsvorschrift zu finden.</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: