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Rekursive Folgen

Komplexe Zahlen

Induktion mit zwei Variablen

Viele Summen können durch explizite Formeln ersetzt bzw. ausgerechnet werden. Mittels vollständiger Induktion nachzuweisen, dass eine solche Formel immer Gültigkeit hat ist Kern dieses Themas.

Summen

Hier werden verschiedene Aussagen über Ungleichungen untersucht und bewiesen. Das Abschätzen von Ausdrücken spielt bei der Beweisführung eine wichtige Rolle.

Ungleichungen

Ungleichungen umformen

Hier lernst du nachzuweisen, ob ein gegebener Ausdruck immer durch eine bestimmte Zahl teilbar ist.

Teilbarkeit

Die Ableitungen mancher Funktionen weisen ein klares Schema auf und können durch eine entsprechende Formel berechnet werden. Die Richtigkeit solcher Formeln beweisen zu können spielt zum Beispiel beim Finden von Taylorreihen eine Rolle.

Ableitungen

Ableitungsregeln (Übersicht)

Wichtige Funktionen und ihre Ableitung

Eigenschaft des lichts

elektiche leistung

Thema 1 Wirtschaftsmathematik

Belasteter und Unblasteter Spannungsteiler

Taylorpolynome

Partielle Intergration 

Föppl-Klammern/Macaulay-Klammern

Dimension

Stromkreis

Gleichgewicht der Kräfte

Polpläne

spannung

Basis, Kern, Bild

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

<h2 class="content_sub_heading">Induktionsschluss $n \to n+1$</h2>
<p>$\begin{align} \sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+1}{i} = &amp; 2^{n+1} \\ \sum_{i=0}^{n+1}\left(\binom{n}{i} + \binom{n}{i-1}\right) = &amp; 2^{n+1} \\ \sum_{i=0}^{n+1}\binom{n}{i} + \sum_{i=0}^{n+1} \binom{n}{i-1} = &amp; 2^{n+1} \\ \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} + \binom{n}{n+1} + \sum_{i=-1}^{n} \binom{n}{i} = &amp; 2^{n+1} \\ 2^n + 0 + \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} + \binom{n}{-1} = &amp; 2^{n+1} \\ 2^n + 2^n + 0 = &amp; 2^{n+1} \\ 2 \cdot 2^n = &amp; 2^{n+1} \\ &amp; \Box \end{align}$</p>

<h2 class="content_sub_heading">Induktionsanfang $n= 0$</h2>
<p>  $\sum_{i=0}^{0}\binom{0}{i} = \binom{0}{0} = \frac{0!}{0! \cdot0!} =1 =2^0$</p>
<h2 class="content_sub_heading">Induktionsvoraussetzung</h2>
<p>  $\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} = 2^n$</p>

<h2 class="content_sub_heading">Induktionsanfang <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n= 0" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container></h2>
<p>  <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sum_{i=0}^{0}\binom{0}{i} = \binom{0}{0} = \frac{0!}{0! \cdot0!} =1 =2^0" style="vertical-align: -0.819ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.543ex" height="2.963ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -948 13500 1309.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-8-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-8-TEX-SO-28" d="M152 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<h2 class="content_sub_heading">Induktionsvoraussetzung</h2>
<p>  <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} = 2^n" style="vertical-align: -0.798ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.879ex" height="2.72ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 6134.4 1202.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-9-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 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<p>Beweise durch vollständige Induktion:</p>
<p>$$\forall n \in \mathbb{N}_0 : \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} = 2^n$$</p>
<p class="content_hint">Hinweise:</p>
<ul>
<li>$\binom{n}{k} := \frac{n!}{k! \cdot(n-k)!}$</li>
<li>$\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}$</li>
<li>$0! = 1$</li>
<li>$\binom{n}{n+1} := 0$</li>
<li>$\binom{n}{-1} := 0$</li>
</ul>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Summen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vollständige Induktion - Summen | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Vollständige Induktion</h2>
<p><strong>1) Induktionsanfang (IA):</strong></p>
<p>Finde eine natürliche Zahl, für welche die Aussage $A(n)$ gilt. Starte bei $A(1)$ und erhöhe ggf. die eingesetzte Zahl, bis die Aussage zutrifft.</p>
<p> </p>
<p><strong>2) Induktionsvoraussetzung (IV):</strong></p>
<p>Schreibe auf: "Es gibt ein $n \in \mathbb{N}$ für das die Aussage $A(n)$ gilt."</p>
<p> </p>
<p><strong>3) Induktionsbehauptung (IB) und Induktionsschluss (IS):</strong></p>
<p>Formuliere $A(n+1)$. Zeige dann durch geschicktes umformen und einsetzen der I.V. dass die Aussage $A(n+1)$ gilt.</p>
<p> </p>
<p><strong>4) Schlusssatz:</strong></p>
<p>Schreibe auf: "Somit gilt die Aussage $A(n)$ nach dem Prinzip der vollständigen Induktion."</p>



<h2 class="content_sub_heading">Vollständige Induktion</h2>
<p><strong>1) Induktionsanfang (IA):</strong></p>
<p>Finde eine natürliche Zahl, für welche die Aussage <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.814ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2128 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-176-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-176-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-176-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-176-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-176-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-176-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-176-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1739,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-176-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt. Starte bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.588ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2028 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-177-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-177-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-177-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-177-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-177-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-177-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1139,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-177-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1639,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-177-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und erhöhe ggf. die eingesetzte Zahl, bis die Aussage zutrifft.</p>
<p> </p>
<p><strong>2) Induktionsvoraussetzung (IV):</strong></p>
<p>Schreibe auf: "Es gibt ein <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \in \mathbb{N}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-178-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-178-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-178-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-178-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-178-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-178-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> für das die Aussage <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.814ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2128 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-179-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 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379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-179-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-179-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-179-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1739,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt."</p>
<p> </p>
<p><strong>3) Induktionsbehauptung (IB) und Induktionsschluss (IS):</strong></p>
<p>Formuliere <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n+1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.711ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3850.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-180-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-180-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-180-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-180-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-180-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-180-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-180-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-180-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-180-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1961.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-180-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2961.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-180-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3461.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-180-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Zeige dann durch geschicktes umformen und einsetzen der I.V. dass die Aussage <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n+1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.711ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3850.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-181-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-181-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-181-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-181-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-181-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-181-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-181-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-181-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-181-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1961.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-181-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2961.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-181-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3461.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-181-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt.</p>
<p> </p>
<p><strong>4) Schlusssatz:</strong></p>
<p>Schreibe auf: "Somit gilt die Aussage <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(n)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.814ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2128 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-182-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-182-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-182-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-182-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-182-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-182-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-182-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1739,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-182-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> nach dem Prinzip der vollständigen Induktion."</p>



<h2 class="content_sub_heading"><strong>Tipps zum Induktionsschluss:</strong></h2>
<p> </p>
<p><strong>Summen</strong></p>
<p>Spalte immer zunächst das letzte Summenglied $n+1$ ab, um anschließend die Induktionsvoraussetzung einsetzen zu können.</p>
<p> </p>
<p><strong>Teilbarkeit</strong></p>
<p>Nutze aus, dass jedes Produkt immer als ganzes teilbar ist, solange ein Faktor teilbar ist.</p>
<p>$\quad 6 \cdot\left(n^{2}+2 \cdot n+1\right)$ ist durch 6 teilbar!</p>
<p> </p>
<p>Nutze ggf. die Methode der konstruktiven Null (blau), um deine I.V. zu erhalten. Es kann Helfen erst die I.V. aufzuschreiben und dann Terme zu ergänzen bis die Gleichung wieder stimmt.</p>
<p>$\quad n^{2}+1=n^{2}+1 \color{#60AFD2}{+2 n-2 n} \color{#000000} =(n+1)^{2}-2 n$</p>
<p> </p>
<p><strong>Ableitungen</strong></p>
<p>Falls $f(x)$ von $n$ abhängig ist (z. B. $f_{n}(x)=x^{n}$):</p>
<p>Schreibe zunächst $f^{n+1}(x)=\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(\frac{d}{d x} f(x)\right)$, leite ab und setze anschließend die Induktionsvoraussetzung ein.</p>
<p> </p>
<p>Falls $f(x)$ <strong>nicht</strong> von $n$ abhängig ist (z. B. $f(x)=x e^{-x}$):</p>
<p>Schreibe $f^{n+1}(x)=\frac{d}{d x}\left(f^{n}(x)\right)$, setze sofort die Induktionsvoraussetzung ein und leite anschließend ab.</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Induktionsanfang

Induktionsvoraussetzung

Lösung:

Induktionsschluss